計數測度

在測度論中，計數測度是可以定義在任意集合上的測度，它將每個集合含有的元素個數作為這個集合的測度。準確來說，對於任何一個可測空間 $\left(\Omega ,{\mathcal {F}}\right)$ ，我們都可以定義這個可測空間上的測度 $\mu$ ，使得對於任意可測集 $E\in {\mathcal {F}}$ ， $\mu (E)$ 就是集合 $E$ 中含有的元素個數，即

$\mu (E)={\begin{cases}\vert E\vert &\vert E\vert <\infty ,\\+\infty &\vert E\vert =+\infty .\end{cases}}$

這裡 $\vert E\vert$ 表示集合的基數。^[1]

特別地，可測空間 $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ 上的計數測度是σ-有限的當且僅當 $\Omega$ 是可數集。^[2]

參考文獻

^ Schilling, René L. Measures, Integral and Martingales. Cambridge University Press. 2005: 27. ISBN 0-521-61525-9.
^ Hansen, Ernst. Measure Theory (Fourth ed.). University of Copenhagen. 2009: 47. ISBN 978-87-91927-44-7.

[1] Schilling, René L. Measures, Integral and Martingales. Cambridge University Press. 2005: 27. ISBN 0-521-61525-9.

[2] Hansen, Ernst. Measure Theory (Fourth ed.). University of Copenhagen. 2009: 47. ISBN 978-87-91927-44-7.

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