譜序列

在同調代數中，譜序列是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術，由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲、群上同調與同倫理論。

動機

讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。

人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡鍊的框架，譜序列仍是最有效的計算工具。

由於譜序列包含大量的項，實際計算時往往會陷入帶（至少）三重指標的群或模的迷陣。在許多實際狀況中，譜序列最後會「塌陷」，此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷，則須靠一些竅門取得有用的資訊。

形式定義

以下固定一個阿貝爾範疇 ${\mathcal {A}}$，常見例子是一個環上的模範疇。譜序列是一個非負整數 $r_{0}$ 及下述資料：

• 對所有整數 $r\geq r_{0}$，有範疇中的一個對象 $E_{r}$。
• 自同態 $d_{r}:E_{r}\to E_{r}$，滿足 $d_{r}^{2}=0$，稱為邊界映射或微分。
• 從 $E_{r+1}$ 到 $H(E_{r},d_{r})$ 的同構。

通常省去 $E_{r+1}$ 與 $H(E_{r},d_{r})$ 的同構，而寫成等式。

最基本的例子是鏈複形 $C_{\bullet }$，它帶有一個微分 $d$。取 $r_{0}=0$，並令 $E_{0}=C_{\bullet }$，於是必有 $E_{1}=H(C_{\bullet })$；這個新鏈複形上的微分只有一個自然的選擇，就是零映射。於是有 $E_{1}=E_{2}=\cdots$。綜之，我們得到一個鏈複形範疇上的譜序列：

• $E_{0}=C_{\bullet }$
• $E_{r}=H(C_{\bullet })\;(r\geq 1)$

由於只有 $r=0$ 時微分映射才可能非零，此序列在第一步後就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模（或層）範疇上的譜序列，表作 $E_{r}^{p,q}$，此時的微分映射次數與 $r$ 有關：對於上同調譜序列，$d_{r}:E_{r}\to E_{r}$ 的次數是 $(r,-r+1)$。對於同調譜序列，通常將各項寫成 $E_{r}$，微分映射 $d^{r}:E_{r}\to E_{r}$ 的次數是 $(-r,r-1)$。

譜序列之間的態射 $f:E\to E'$ 定義為一族態射 $f_{r}:E_{r}\to E_{r}'$，使之與同構 $E_{r+1}\simeq H(E_{r},d_{r})$ 交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

正合偶

交換代數中大部分的譜序列來自鏈複形，而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見，此時對於許多譜序列，正合偶是唯一已知的構造法。事實上，正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇（通常取一個環上的雙分次模）${\mathcal {A}}$，一個正合偶是：

• 一對對象 $A,C$
• 三個態射：
  • $f:A\to A$
  • $g:A\to C$
  • $h:C\to A$

使之滿足下述正合條件：

• Image f = Kernel g
• Image g = Kernel h
• Image h = Kernel f

將這組資料簡記為 $(A,C,f,g,h)$。正合偶通常以三角形表示。$C$ 對應到譜序列的 $E_{0}$ 項，而 $A$ 是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項，以下將構造導出偶。令：

• $d:=g\circ h$
• $A':=f(A)$
• $C':=\mathrm {Ker} (d)/\mathrm {Im} (d)$
• $f':=f|_{A'}$
• $h':C'\to A'$ 由 $h$ 導出。
• $g':A'\to C'$ 定義如下：若 ${\mathcal {A}}$ 為某個環上的模範疇，對任一 $a\in A'$，存在 $b\in A'$ 使得 $a=f(b)$，定義 $g'(a)$ 為 $g(b)$ 在 $C'$ 中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射 $g'$。

現在可以驗證 $(A',C',f',g',h')$ 構成正合偶。$C'$ 對應到譜序列的 $E_{1}$ 項。續行此法，可以得到一族正合偶 $(A^{(n)},C^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})$。相應的譜序列定義為 $E_{n}:=C^{(n)}$，$d_{n}:=g^{(n)}\circ h^{(n)}$。

圖解

譜序列的 E₂ 項

一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊，不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標 $r,p,q$。對每個 $r$，設想有一張方格紙，分別讓 $p,q$ 對應於橫、縱軸。每一個格子點 $(p,q)$ 對應到對象 $E_{r}^{p,q}$。微分 $d_{r}$ 的次數為 $(r,-r+1)$，方向如圖所示。

收斂與退化

在第一個簡單的例子中，譜序列在 $r\geq 1$ 後的微分映射皆為零，故不再改變。這時可定義該譜序列的極限為 $E_{\infty }:=E_{r}\;(r\geq 1)$。對於一般的譜序列，也往往存在一個極限，極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。

定義：若譜序列 $E_{r}^{p,q}$ 對每個 $(p,q)$ 都存在 $r(p,q)\in \mathbb {N}$，使得當 $r\geq r(p,q)$ 時，$d_{r}^{p-r,q+r-1}:E_{r}^{p-r,q+r-1}\to E_{r}^{p,q}$ 及 $d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}$ 皆為零，則稱 $E_{r}^{p,q}$ 之極限項為 $E_{\infty }^{p,q}:=E_{r}^{p,q}$（取充分大的 $r$）。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列，此時極限項恆存在。

其中的指標 $p$ 指涉過濾結構。

若存在對象 $E^{\bullet }$、過濾結構 $\cdots \subset F^{p+1}E^{\bullet }\subset F^{p}E^{\bullet }\subset \cdots$，及一族同構 $\beta ^{p,q}:E_{\infty }^{p,q}\simeq \mathrm {gr} ^{p}E^{p+q}$，滿足 $\bigcap _{p}F^{p}E^{\bullet }=(0),\bigcup _{p}F^{p}E^{\bullet }=E^{\bullet }$（這種過濾稱為「正則過濾」），則稱 $E_{r}^{p,q}$ 收斂到 $E^{\bullet }$，通常表為下述符號：

$E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}$

習慣上，人們也常將左式寫成 $E_{2}^{p,q}$，因為譜序列中最重要的頁往往是 $E_{2}^{p,q}$。

最簡單的收斂特例是退化：

定義：固定 $r\in \mathbb {N}$，若對每個 $s\geq r$，微分映射 $d_{s}$ 都是零，則稱該譜序列在第 $r$ 頁退化。

退化性保證了 $E_{r}\simeq E_{r+1}\simeq \cdots$，此時 $E_{r}$ 即其極限。如果一個雙分次譜序列 $E_{r}^{p,q}$ 的非零項集中於某一條水平或垂直線上，則必在 $r=2$ 時退化。

例子

過濾結構導出的譜序列

最常見的譜序列之一來自帶有過濾結構的對象，通常是鏈複形或上鏈複形。這是一個對象 $C$ 及微分映射 $d:C\to C$ ，使之滿足 $d^{2}=0$，以及

$C=F^{0}C\supset F^{1}C\supset \cdots F^{n}C\supset F^{n+1}C=0$

$dF^{p}C\subset F^{p}C$

同調群上也有相應的過濾

$F^{p}H(C,d):=\mathrm {Im} (H(F^{p}C,d)\to H(C,d)$

對此，定義相應的分次對象

$\mathrm {gr} _{F}C:=\bigoplus _{p\geq 0}F^{p}C/F^{p+1}C$

$\mathrm {gr} _{F}H(C):=\bigoplus _{p\geq 0}F^{p}H(C)/F^{p+1}H(C))$

取微分映射為零，可視之為複形。

以下式定義譜序列：

$Z_{r}^{p}:={x\in F^{p}C:dx\in F^{p+r}C}$

$E_{r}^{p}:=Z_{r}^{p}/(dZ_{r-1}^{p-r+1}+Z_{r-1}^{p+1})=Z_{r}^{p}/(Z_{r}^{p}\cap (dF^{p-r+1}C+F^{p+1}C))$

此時有 $E_{0}^{p}=F^{p}C/F^{p+1}C,E_{1}^{p}=H(\mathrm {gr} ^{p}C)$，且譜序列收斂：

$E_{r}^{p}\Rightarrow E_{\infty }^{p}=\mathrm {gr} ^{p}H(C)$

通常也寫成 $E_{r}\Rightarrow H(C)$。

取 ${\mathcal {A}}$ 為取值在某個阿貝爾範疇中的上鏈複形範疇。此時的對象 $C$ 是個上鏈複形 $\cdots \to C^{q}\to C^{q+1}\to \cdots$，$d$ 是上鏈複形的微分映射。上述譜序列帶有三個指標 $p,q,r$，並可進一步化成下述形式：

$E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}$

$E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(\mathrm {gr} ^{p}C^{\bullet })$

$E_{\infty }^{p,q}=\mathrm {gr} ^{p}(H^{p+q}(C^{\bullet }))$

雙複形的譜序列

以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的雙複形，即一組對象 $C^{p,q}$，及兩組微分映射 $d':C^{p,q}\to C^{p+1,q}$ 及 $d'':C^{p,q}\to C^{p,q+1}$，滿足

$d'^{2}=d''^{2}=0$

$d'd''+d''d'=0$

對一個雙複形，可定義其全複形 $(C,D)$（也記為 $T(C)$ 或 $\mathrm {Tot} (C)$） 為

$C^{n}:=\bigoplus _{p+q=n}C^{p,q}$

$D:=d'+d''$

$C$ 上有兩組過濾，分別是：

$('F^{p}C)^{n}:=\bigoplus _{i+j=n,\,i\geq p}C^{i,j}$

$(''F^{q}C)^{n}:=\bigoplus _{i+j=n,\,j\geq q}C^{i,j}$

它們給出兩個譜序列 $'E_{r}$ 與 $''E_{r}$。首先計算 $'E_{0},'E_{1},'E_{2}$ 項：

$'E_{0}^{i,j}=C^{i,j}$

$'E_{1}^{i,j}=H_{d''}^{j}(C^{i,\bullet })$

$'E_{2}^{i,j}=H_{d'}^{i}(H_{d''}^{j}(C^{\bullet ,\bullet }))\qquad$（即：先取縱向上同調，再取橫向上同調）

同理可計算 $''E_{0},''E_{1},''E_{2}$：

$''E_{0}^{i,j}=C^{j,i}$

$''E_{1}^{i,j}=H_{d'}^{j}(C^{\bullet ,i})$

$''E_{2}^{i,j}=H_{d''}^{i}(H_{d'}^{j}(C^{\bullet ,\bullet }))\qquad$（即：先取橫向上同調，再取縱向上同調）。

這兩個譜序列通常是不同的，但隨著 $r$ 增大，它們都收斂到 $H(C)$，由此可以得到一些有趣的比較定理。

例子

Tor函子的交換性

利用譜序列，可以迅速導出Tor函子的交換性，即一自然同構：

$\mathrm {Tor} _{i}(M,N)=\mathrm {Tor} _{i}(N,M)$

取定平坦分解 $P_{\bullet }\to M\to 0$ 及 $Q_{\bullet }\to N\to 0$。視之為集中於正項的複形，其微分映射分別記為 $d,e$。考慮雙複形 $C_{i,j}:=P_{i}\otimes Q_{j}$，其微分映射定義為 $d_{i,j}:=d_{i}\otimes \mathrm {id} +(-1)^{j}\mathrm {id} \otimes e_{j}$（以使微分映射滿足反交換性）。取其譜序列，遂得到：

$'E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{II}(Q_{\bullet }))$

$''E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{II}(Q_{\bullet }\otimes H_{p}^{I}(P_{\bullet }))$

由於複形 $P_{\bullet },Q_{\bullet }$ 是平坦分解，其同調群只集中在零次項，此時其表示式為：

$H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)={\mbox{Tor}}_{p}(M,N)$

$H_{q}^{II}(Q_{\bullet }\otimes M)={\mbox{Tor}}_{q}(N,M)$

故 $'E_{p,q}^{2}$ 只在 $p=0$ 上有非零項，而 $''E_{p,q}^{2}$ 只在 $q=0$ 上有非零項，這保證了譜序列在第二頁退化，由此導出同構：

${\mbox{Tor}}_{p}(M,N)\cong E_{p,q}^{\infty }={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))$

${\mbox{Tor}}_{q}(N,M)\cong E_{p,q}^{\infty }={\mbox{gr}}_{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))$

當 $p=q$ 時，上述等式的右項同構（雖然其分次結構不同），由此得到 Tor 的交換性。

示性數

運用譜序列時，通常會假設某些項為零，或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分映射一無所知，仍可從譜序列中萃取資訊，最簡單的例子是示性數：固定一個阿貝爾範疇 ${\mathcal {A}}$ 及一個交換群 $C$，所謂示性數是一個函數 $\chi :\mathrm {Ob} {\mathcal {A}}\to C$，滿足：

• $\forall 0\to Y\to X,\;\chi (X)=\chi (Y)+\chi (X/Y)$
• $X\simeq Y\Rightarrow \chi (X)=\chi (Y)$

例如：取 ${\mathcal {A}}$ 為某個域 $k$ 上的有限維向量空間範疇，則 $\chi :V\mapsto \dim _{k}V$ 是一個示性數。

對任一 ${\mathcal {A}}$ 上的有限複形 $K^{\bullet }$，定義

$\chi (K^{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\chi (K^{i})$

容易證明 $\chi (K^{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\chi (H^{i}(K^{\bullet }))$。考慮任一在 ${\mathcal {A}}$ 上的收斂譜序列 $(E_{r}^{\bullet })$，由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調，遂得到

$\chi (E_{r}^{\bullet })=\chi (E_{r+1}^{\bullet })=\cdots =\chi (E_{\infty }^{\bullet })$

然而

$\chi (E^{n})=\sum _{p}\chi (F^{p}E^{n}/F^{p+1}E^{n})=\sum _{p}\chi (E_{\infty }^{p,n-p})$

於是得到

$\forall r,\;\sum _{n}(-1)^{n}\chi (E^{n})=\chi (E_{r}^{\bullet })$

參考資料

歷史文獻

• Leray, Jean. L'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1366––1368. 
• Leray, Jean. Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1419––1422. 
• Koszul, Jean-Louis. Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau. C. R. Acad. Sci. Paris. 1947, 225: 217––219. 
• Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. I, II. Ann. of Math. (2nd series). 1952, 56: 363––396. 
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當代文獻

• S.N. Malygin, Spectral Sequence, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• McCleary, John. A User's Guide to Spectral Sequences 2nd Edition. Cambridge University Press. February 2001: 560 pp. doi:10.2277/0521567599. ISBN 978-0-521-56759-6.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)
• Mosher, Robert; Martin Tangora. Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory. Harper and Row. 1968. 
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• Chow, Timothy Y. You Could Have Invented Spectral Sequences (PDF). Notices of the American Mathematical Society. January 2006, 53: 15––19 [2007-08-17]. （原始內容存檔 (PDF)於2006-10-06）.