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莫德爾猜想

莫德爾猜想（Mordell conjecture），又稱法爾廷斯定理（Faltings's theorem），是一個由路易·莫德爾（英語：Louis Mordell）[1]提出的算術幾何猜想，這猜想認為，任何有理數域上虧格數大於一的曲線至多只有有限多個有理點。這猜想於1983年為格爾德·法爾廷斯所證明[2]，並從此改名為法爾廷斯定理，而之後這猜想被推廣至任何代數數域上。

法爾廷斯定理
格爾德·法爾廷斯
領域算術幾何
猜想提出者路易·莫德爾（英語：Louis Mordell）
猜想提出年1922
最初證明者格爾德·法爾廷斯
最初證明年1983
推廣邦別里－朗猜想（英語：Bombieri–Lang conjecture）
莫德爾－朗猜想（英語：Mordell–Lang conjecture）
可得結果西葛爾的整數點定理（英語：Siegel's theorem on integral points）

背景

設C為一個非特異（英語：Singular point of an algebraic variety）的、位於有理數域上且虧格數為g的代數曲線，則C上的有理點可由下列關係決定：

證明

伊戈爾·沙法列維奇（英語：Igor Shafarevich）曾猜想說在一個固定的數域上有著固定的維度與極化度（polarization degree）、且在固定的位構成的有限集合之外有著良好簡化（Good reduction）的交換簇（英語：Abelian variety）之上，只有有限個同構類，而這即是沙法列維奇的有限猜想。[3]阿列克謝·帕辛（英語：Aleksei Parshin）使用現在稱為帕辛技巧的方法，指出說沙法列維奇的有限猜想可推出莫德爾猜想。[4]

格爾德·法爾廷斯利用了泰特猜想（英語：Tate conjecture）一個情況已知的簡化，以及包括內倫模型（英語：Néron model）等源自代數幾何的工具，證明了沙法列維奇的有限猜想。[5]而這證明的主要想法，是利用西葛爾模簇（英語：Abelian variety）來比較高度函數（英語：Height function）中的法爾廷斯高度及古典高度。[a]

後來的證明

可得結果

法爾廷斯在1983年的論文可推出一系列先前受猜想的內容：

  • 莫德爾猜想，也就是在代數數域上虧格數大於1的曲線只有有限多個有理點；
  • 同類定理（Isogeny theorem），也就是帶有同構泰特模（英語：Tate module）（也就是帶有伽羅瓦作用的Qℓ－模）的交換簇（英語：Abelian variety）是同類（英語：Isogeny）的。

法爾廷斯定裡的一個應用是費馬最後定理的弱形式：對於任意大於等於4的固定整數n，an + bn = cn至多只有有限的原始整數解（也就是彼此互質的解），而這是因為對於這樣的n而言，費馬曲線（英語：Fermat curve） xn + yn = 1的虧格數大於1之故。

推廣

由於莫德爾－韋伊定理（英語：Mordell–Weil theorem）之故，因此法爾廷斯定理可重述為一個關於帶有交換簇A的有限生成子群Γ的曲線C的交點的敘述，因此可透過將其中交換簇A改成半交換簇（semiabelian variety）、將C改成A的任意子簇，以及將Γ改成A的任意有限秩子集的作法，將之推廣為莫德爾－朗猜想（英語：Mordell–Lang conjecture），而這猜想由麥克·麥奎蘭（英語：Michael McQuillan (mathematician)）[9]在洛朗（Laurent）、雷諾、辛追（Hindry）、波伊大（英語：Paul Vojta）以及法爾廷斯等人成就的基礎上，於1995年所證明。

法爾廷斯定理的另一個高維推廣是邦別里－朗猜想（英語：Bombieri–Lang conjecture），也就是若X是一個在數域k上的偽典型簇（英語：pseudo-canonical variety）（也就是「一般類型」的代數簇），那麼X(k)在扎里斯基拓撲的意義上並非稠密的。保羅·波伊大（英語：Paul Vojta）並提出了更加一般化的猜想。

函數域上的莫德爾猜想由尤里·馬寧[10]以及漢斯·格勞爾特（英語：Hans Grauert）[11]所證明，在1990年，羅伯特·F·科爾曼找到並修補了馬寧證明中的一個漏洞。[12]

註解

  1. ^ 「法爾廷斯藉由西葛爾模空間的方法比較了高度的兩種表記…這是證明的主要想法」（原文："Faltings relates the two notions of height by means of the Siegel moduli space.... It is the main idea of the proof."）Bloch, Spencer. The Proof of the Mordell Conjecture. The Mathematical Intelligencer. 1984, 6 (2): 44. S2CID 306251. doi:10.1007/BF03024155. 

引用

  1. ^ Mordell 1922.
  2. ^ Faltings 1983; Faltings 1984.
  3. ^ Shafarevich 1963.
  4. ^ Parshin 1968.
  5. ^ Faltings 1983.
  6. ^ Vojta 1991.
  7. ^ Bombieri 1990.
  8. ^ Lawrence 2020.
  9. ^ McQuillan 1995.
  10. ^ Manin 1963.
  11. ^ Grauert 1965.
  12. ^ Coleman 1990.

參考資料

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