曲率形式

微分幾何中,曲率形式curvature form)描述了主叢上的聯絡曲率。它可以看作是黎曼幾何中的曲率張量的替代或是推廣。

定義

G 為一個李群,記 G李代數 。設   為一個G-叢。令   表示 E 上一個埃雷斯曼聯絡(它是一個E上的 g-值 1-形式)。

那麼曲率形式就是 E 上的 g-值 2-形式,定義為

 

這裡   表示標準外導數 李括號,而 D 表示外共變導數。或者說

 

向量叢上的曲率形式

  是一個纖維叢,其結構群G,我們可以在相伴的主 G-叢上重複同樣的定義。

  是一個向量叢則我們可以把   看作是 1-形式的矩陣,則上面的公式取如下形式:

 

其中  楔積。更準確地講,若    分別代表    的分量(所以每個   是一個通常的 1-形式而每個   是一個普通的2-形式),則

 

例如,黎曼流形切叢,我們有   作為結構群而   是在   中取值的 2-形式(給定標準正交基,可以視為反對稱矩陣)。在這種情況, 曲率張量的一種替換表述,也就是在曲率張量的標準表示中,我們有

 

上式使用了黎曼曲率張量標準記號。

比安基恆等式

如果   是標架叢上的典範向量值 1-形式,聯絡形式 ω 的撓率   是由結構方程定義的向量值 2-形式:

 

這裡 D 代表外共變導數

第一比安基恆等式(對於標架叢的有撓率聯絡)取以下形式

 

第二比安基恆等式對於一般有聯絡的叢成立,並有如下形式

 

參看

參考

  • S.Kobayashi and K.Nomizu, "Foundations of Differential Geometry", Chapters 2 and 3, Vol.I, Wiley-Interscience.