星形菱形三十面體
在幾何學中，星形菱形三十面體是指菱形三十面體的星形化體，即把菱形三十面體的面和邊沿伸直到向外相交成星形的立體。溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型，其中也收錄了一些星形菱形三十面體[1]，例如內側菱形三十面體[2][3]。
| 部分的星形菱形三十面體 | |
|---|---|
 完全星形菱形三十面體 | |
 菱形六十面體 |
 大菱形三十面體 |
歷史
星形菱形三十面體是一種多面體類型，屬於此類的多面體數量非常龐大。埃德（Ede）在1958年時列舉了13種基本的星形菱形三十面體類型[4]。鮑萊（Pawley）在1973年時提出了一些規則以令星形菱形三十面體可以完全被枚舉[5]。
這些多面體種類繁多，大多都並未被觀察及描繪，因此大多數並未命名。梅塞爾（Messer）在1995年描述了其中227個星形化體[6]（含原像菱形三十面體在內，即1種凸多面體和226種星形多面體[7][8]）。
種類
菱形三十面體透過全部匹配能產生227種星形菱形三十面體[9]，其中包括了115個鏡像不變的立體和112個具有手性鏡像的立體；透過米勒的規則[10] 可以產生358833098種星形菱形三十面體，其中包括了84959個鏡像不變的立體和358748139種具有手性鏡像的立體[9]。
已命名的星形菱形三十面體
已命名的星形菱形三十面體十分少，其命名的原因多半與星形菱形三十面體無關，而是因為其他研究的同時剛好研究的立體屬於星形菱形三十面體，例如五複合立方體雖是一種星形菱形三十面體[11]，但其因為是立方體複合體的相關研究而得名[12]。
黃金一百二十面體
第一星形菱形三十面體，又稱黃金一百二十面體，是菱形三十面體星形化的第一種形式，其對應形狀轉化為間單多面體（即去除自相交面隱沒於立體內部的面）後所形成的立體共由120個面、62個頂點和180條邊組成，且五種柏拉圖立體皆可以共用頂點地嵌入這個立體中。[13]
黃金一百二十面體的頂點座標都是由以下集合的元素組成[13]：
- {−φ³, −φ², −φ, 0, φ, φ², φ³}
其中，φ為黃金比例。
黃金一百二十面體的62個頂點，其中20個是來自一個正十二面體（或是為五個正四面體以兩種方式重和的五複合正四面體）、5x6=30個來自5個正八面體和12個來自一個正二十面體。[13]
列表
| 名稱 | 對稱群 | 圖像 | 星狀圖 |
|---|---|---|---|
| 菱形三十面體 | Ih | 
|
|
| 黃金一百二十面體 | Ih |
|
|
| 菱形六十面體[14] | Ih |
|
|
| 五複合立方體[12] | Ih | 
|
|
| 內側菱形三十面體[2] | Ih | 
|
|
| 大菱形三十面體[15] | Ih |
|
|
| 完全星形菱形三十面體[11] | Ih |
|
|
用途
部分星形菱形三十面體被一些數學學者認為是具代表性的立體，用於一些與幾何學相關著作的封面或標誌，例如大菱形三十面體[16][15]和菱形六十面體[i][17]。前者被用於多面體領域著名著作《正多胞形》的封面上[16][15]，後者為Wolfram Alpha的標誌。[17]
參見
參考文獻
- ^ Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
- ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. (編). Medial Rhombic Triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）. （原始內容存檔於2016-09-01）.
- ^ Medial Rhombic Triacontahedron. software3d.com. （原始內容存檔於2016-03-04）.
- ^ Ede, J. D. "Rhombic Triacontahedra". Math. Gaz. 1958, 42: pp.98–100.
- ^ Pawley, G. S. "The 227 triacontahedra.". Geometriae Dedicata. 1975-08-01, 4 (2): pp.221–232. doi:10.1007/BF00148756.
- ^ Messer, P. W. "Stellations of the Rhombic Triacontahedron and Beyond.". Structural Topology. 1995, 21: pp.25–46.
- ^ George W. Hart. List of Stellations of the Rhombic Triacontahedron. Virtual Polyhedra. 1996 [2020-08-17]. （原始內容存檔於2019-12-30）.
- ^ Paulo Freire. Stellations of the Rhombic Triacontahedron. mpifr-bonn.mpg.de. 1996 [2020-08-17]. （原始內容存檔於2019-05-04）.
- ^ 9.0 9.1 Webb, R. "Enumeration of Stellations.". software3d.com. [2019-09-06]. （原始內容存檔於2019-04-27）.
- ^ Guy's. Stellation and facetting - a brief history. steelpillow.com. 2010-12-19 [2016-03-26]. （原始內容存檔於2016-03-04）.
- ^ 11.0 11.1 George W. Hart. Stellations of the Rhombic Triacontahedron. Virtual Polyhedra. 1996 [2020-08-17]. （原始內容存檔於2019-12-29）.
- ^ 12.0 12.1 Weisstein, Eric W. (編). Compound of Five Cubes. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
- ^ 13.0 13.1 13.2 Lynnclaire Dennis' polyhedra. www.polyhedra-world.nc. 2005-06-25 [2022-07-30]. （原始內容存檔於2022-07-30）.
- ^ Weisstein, Eric W. (編). Rhombic hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
- ^ 15.0 15.1 15.2 Weisstein, Eric W. (編). Great rhombic triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
- ^ 16.0 16.1 Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 103, 1973. ISBN 978-0486614809
- ^ 17.0 17.1 Weisstein, E. W. "the-story-of-spikey". 2018-12-28 [2020-08-20]. （原始內容存檔於2020-07-18）.
- 一手資料
- ^ Weisstein, E. W. "What's In a Name? That Which We Call a Rhombic Hexecontahedron.". 2009-05-19 [2020-08-20]. （原始內容存檔於2020-02-15）.
