數域近世代數學中常見的概念,指對四則運算封閉代數系統。通常定義的數域是指複數域子域。「數域」一詞有時也被用作代數數域的簡稱,但兩者的定義有細微的差別。

定義

 是複數域 的子集。若 中包含0與1,並且 中任兩個數的和、差、乘積以及商(約定除數不為0)都仍在 中,就稱 為一個數域[1]:101。用域論的話語來說,複數域的子域是為數域[2]:5

任何數域都包括有理數域 [1]:103[2]:5,但並不一定是 有限擴張,因此數域不一定是代數數域。例如實數域 和複數域 都不是代數數域。反之,每個代數數域都同構於某個數域。

例子

除了常見的實數域 和複數域 以外[2]:5,通過在有理數域中添加特定的無理數進行擴張得到的擴域也是數域。例如所有形同:

 

的數的集合,就是一個數域。可以驗證,任何兩個這樣的數,它們的和、差、乘積以及商(約定除數不為0)都能寫成 的形式,故仍然在集合之中[1]:102。這個集合記作 ,是有理數域 二次擴域

可構造數

可構造數也叫規矩數,指的是從給定的單位長度開始,能夠通過有限次標準的尺規作圖步驟做出的長度數值。所有可構造數的集合記為 ,是一個數域[3]:160-161。因為給定了兩個已經做出的線段後,可以通過符合尺規作圖規定的手段,在有限步內作出長度為兩者長度之和、差、乘積以及商的線段。  的擴域,次數為無限大,是實數域 的子域[3]:161

代數數

代數數指能夠成為某個有理係數多項式的根的數。所有代數數的集合記作 ,是一個數域。 也常被稱為代數數域,但與定義為「 的有限擴張」的代數數域是不同的概念。不過,每個 的有限擴張生成的域都可看作是[N 1] 中加入某個代數數擴成的,所以都是 的子域。可構造數構成的數域 也是 的子域。由於虛數單位i也是代數數,所以 不是 的子域。另一方面,自然對數的底e以及圓周率π都不是代數數,所以 也不是 的子域[N 2]

注釋

  1. ^ 同構意義上。
  2. ^ 事實上 的元素個數是可數的,所以元素個數不可數的 不可能是 的子域。

參考來源

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 王萼芳. 高等代数教程. 清華大學出版社. 1997. ISBN 9787302024521. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 張賢科, 許甫華. 高等代数学. 清華大學出版社. 2004. ISBN 9787302082279. 
  3. ^ 3.0 3.1 胡冠章, 王殿軍. 应用近世代数. 清華大學出版社. 2006. ISBN 9787302125662.