擴展實數線

擴展實數線又稱廣義實數(英語:extended real number),由實數線加上得到(注意並不是實數),寫作[−∞, +∞]ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不會混淆時,符號 +∞常簡寫成。擴展的實數線在研究數學分析,特別是積分時非常有用。

擴展

對任意實數 ,定義 ,擴展的實數軸就成了一個全序集。這種集合有種非常好的性質,就是其所有子集都有上確界下確界:這是一個完備格。全序關係在 上引入了拓撲。在這個拓撲中,集合  鄰域,當且僅當它包含集合 ,這裡 是某個實數。 的鄰域類似。 是個緊緻豪斯多夫空間,與單位區間 同胚

 上的算術運算可以部分地擴展到 ,如下:

 

通常不定義 , 。同時 也不定義為 (因為這樣忽視了 ),這些規則是根據無窮極限的性質確定的。

注意在這些定義下, 不是,也不是

性質

經過上述定義,擴展的實數軸仍有很多實數的性質:

  •   相等或同時沒有定義。
  •   相等或同時沒有定義。
  •   相等或同時沒有定義。
  •   相等或同時沒有定義。
  •   若都有定義則相等。
  •    都有定義,則 
  •     都有定義,則 

通常只要表達式都有定義,所有算術性質在 上都成立。

使用極限,一些函數可以自然地擴展到 。例如可以定義 等。

參見