扭棱四面體
在幾何學中，扭棱四面體是指正四面體經過扭棱變換後所形成的多面體。其拓樸結構與正二十面體等價。一般會將這種立體的面分為3組，一組是原始四面體的面，另一組是來自原像之頂點圖的面，另一組是扭棱變換過程中所形成的面。若兩組面構成的三角形不全等，其結果立體將會變成一個外觀與正二十面體非常相似，但不相同的立體，因此又稱偽正二十面體[1]，其具備五角十二面體（黃鐵礦晶型）對稱性[2]。部分文獻將這種立體稱為扭棱八面體（snub octahedron）[3]、扭棱截半四面體（或扭棱四-四面體，snub tetratetrahedron）[4]。部分礦石的晶體結構會結晶成這種形狀。[5]
 | |||
| 類別 | 凸多面體 | ||
|---|---|---|---|
| 對偶多面體 | 五角十二面體 | ||
| 數學表示法 | |||
| 考克斯特符號 |     (五角十二面體對稱)  (四面體對稱) | ||
| 性質 | |||
| 面 | 20 | ||
| 邊 | 30 | ||
| 頂點 | 12 | ||
| 歐拉特徵數 | F=20, E=30, V=12 （χ=2） | ||
| 組成與佈局 | |||
| 面的種類 | 8個正三角形 12個等腰三角形 | ||
| 對稱性 | |||
| 對稱群 | Th, [4,3+], (3*2), order 24 | ||
| 旋轉對稱群 | Td, [3,3]+, (332), order 12 | ||
| 特性 | |||
| 凸 | |||
| 圖像 | |||
| |||
性質
扭棱四面體是一種二十面體，由20個三角形組成。扭棱四面體可以視為四面體經過扭棱變換所形成的立體，在扭稜的過程中會形成3種面，一種是原始四面體的面、另一種是來自原像頂點圖的面、還有一種是扭棱變換過程中所形成的面。若這三種面皆全等，整個立體將與正二十面體無異。[7][8]
 四面體扭棱成扭棱四面體的過程， 其中藍色的面代表原始四面體的面； 紅色的面代表來自原像頂點圖的面； 白色的面代表扭棱變換過程中所形成的面 |
拓樸結構
扭棱四面體的拓樸結構與正二十面體等價[5]。若將四面體扭棱過程中所形成的面兩兩合併為1個菱形，則其拓樸結構與截半立方體相同。[4]
頂點座標
這種立體的頂點座標可以用 的循環排列來構造，這個頂點排構建方式又可視為是交錯截角的截角八面體，其與耶森二十面體相同，但頂點間相連方式不同[9]。而若取 則會變為正二十面體，其中 為黃金比例。[1]
耶森二十面體
耶森二十面體是一個與扭棱四面體相同頂點排列方式的立體，但耶森二十面體頂點間的相連方式與扭棱四面體不同。耶森二十面體是非凸多面體，並具有直角的二面角。[10]
對偶多面體
這種立體因為外觀與正二十面體十分類似，但不是正多面體因此又被稱為偽正二十面體。其對偶多面體也非常類似正二十面體的對偶多面體——正十二面體，然而其也不是正多面體。這種立體的對偶多面體為五角十二面體，是一種由12個不等邊五邊形組成的十二面體，具有四面體群對稱性。其與正十二面體類似，皆是由12個全等的五邊形組成，且每個頂點都是3個五邊形的公共頂點[11]，但由於其面不是正多邊形，其頂點的排佈未能達到五摺對稱性，因此不屬於正多面體。部分的化學物質或礦石[12]其晶體形狀是這種形狀，例如黃鐵礦和部分的天然氣水合物[13]。其英文名稱Pyritohedron是來自黃鐵礦的英文pyrite以及多面體的字尾-hedron命名的。[14]
相關多面體
| 原像 |  正四面體 |
 立方體 |
 正八面體 |
 正十二面體 |
 正二十面體 |
|---|---|---|---|---|---|
| 扭稜 |  扭棱四面體 sr{3,3} |
|
| ||
| 扭棱立方體 sr{4,3} |
扭棱八面體 sr{3,4} |
扭棱十二面體 sr{5,3} |
扭棱二十面體 sr{3,5} | ||
| 完全扭稜 |  完全扭稜四面體 β{3,3} |
 完全扭稜立方體 β{4,3} |
 二複合二十面體 β{3,4} |
 完全扭稜十二面體 β{5,3} |
 完全扭稜二十面體 β{3,5} |
參見
參考文獻
- ^ 1.0 1.1 John Baez. Fool's Gold. September 11, 2011 [2021-08-14]. （原始內容存檔於2018-05-19）.
- ^ Symmetries Up To Three Dimensions. （原始內容存檔於2021-08-14）.
- ^ Kappraff, J. Connections: The Geometric Bridge Between Art & Science (2nd Edition). Series On Knots And Everything. World Scientific Publishing Company. 2001: 475 [2021-08-14]. ISBN 9789814491327. （原始內容存檔於2021-08-14）.
- ^ 4.0 4.1 Jim McNeill. Polyhedral "Twisters". orchidpalms.com. [2021-08-14]. （原始內容存檔於2019-03-11）.
- ^ 5.0 5.1 John Baez. Who Discovered the Icosahedron?. Special Session on History and Philosophy of Mathematics, 2009 Fall Western Section Meeting of the AMS. September 11, 2009 [2021-08-14]. （原始內容存檔於2020-05-29）.
- ^ Th. Hahn (編). Crystallographic and noncrystallographic point groups (PDF). International Tables for Crystallography: Space-group symmetry. International Tables for Crystallography 1 (Chester, England: International Union of Crystallography). 2006-10-01, A: pp. 763–795 [2021-08-14]. ISBN 9780792365907. doi:10.1107/97809553602060000100. （原始內容存檔 (PDF)於2021-08-14）.
- ^ John Sharp. Have you seen this number?. The Mathematical Gazette. 1998-07, 82 (494): 203–214 [2021-08-16]. ISSN 0025-5572. doi:10.2307/3620403 （英語）.
- ^ George W. Hart. Symmetry Planes. 1996 [2021-08-14]. （原始內容存檔於2021-08-16）.
- ^ Børge Jessen. Orthogonal icosahedra. Nordisk Matematisk Tidskrift. 1967, 15 (2): 90–96. JSTOR 24524998. MR 0226494.
- ^ Branko Grünbaum. Acoptic polyhedra (PDF). Advances in Discrete and Computational Geometry (South Hadley, MA, 1996). Contemporary Mathematics 223. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 1999: 163–199 [2021-08-14]. MR 1661382. doi:10.1090/conm/223/03137. （原始內容存檔 (PDF)於2021-03-31）.
- ^ Crystal Habit （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. Galleries.com. Retrieved on 2016-12-02.
- ^ 中村慶三郎. 朝鮮コバルト鑛床調査概報. 地學雑誌 (公益社団法人 東京地學協會). 1942, 54 (6): 211––230.
- ^ 天然氣水合物能替代石油嗎？. 科學人雜誌 - 遠流. [2021-08-14]. （原始內容存檔於2021-08-16）.
天然氣水合物常見的兩種籠狀結構為五角十二面體
- ^ Pyrite. stonetrust. [2019-11-04]. （原始內容存檔於2019-02-23）.
外部連結
- 扭棱四面體的各種變體 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）