域擴張(英語:Field extensions)是數學分支抽象代數域論中的主要研究對象,基本想法是從一個基開始以某種方式構造包含它的「更大」的域。域擴張可以推廣為環擴張英語Ring_extension

定義

KL是兩個。如果存在從KL域同態ι,則稱(L,ι)是K的一個域擴張,記作L/KKLKL[1]:9K稱為域擴張的基域L稱為K擴域[2]:2。如果某個域F既是K的擴域,又是L子域,則稱域擴張F/K是域擴張L/K子擴張,稱F(域擴張L/K的)中間域

域擴張的記法L/K只是形式上的標記,不表示存在任何商環商群等代數結構。有些文獻中也會將域擴張記為L:K

另外,因為ι是域同態,所以ι單射[3]。由於K是域,所以ι(K)是一個L的同構於K的子域。很多時候也直接省略ι,直接將K視為L的一個子域[1]:9。為了記敘方便,下文中將依情況使用這種省略方式[N 1]

設有域擴張L/K,給定一個由L中不屬於ι(K)的元素組成的集合S,考慮L中所有同時包含ι(K)和S的子域,其中有一個「最小的」[N 2],稱為「在K中添加(集合)S生成的擴域」,記作K(S)。它是所有同時包含ι(K)和S的域的子域[2]:4-5。如果集合S只有一個元素a,則稱域擴張K(S)/K單擴張,對應的擴域一般簡記作K(a)。a稱為這個域擴張的本原元

每個域擴張中,擴域可以看作是以基域為係數域的向量空間。設有域擴張L/K,將L中元素看作向量,K中元素看作係數,可以定義L中的域加法運算作為向量的加法運算,同時可以定義K中元素作為係數與L中元素的數乘運算。可以驗證,在這樣定義下,L是一個K-向量空間[1]:9[2]:2。它的維數稱為域擴張的次數度數,一般記作[L:K][1]:9[2]:2。次數為1的擴張,擴域和基域同構,稱為平凡擴張。次數有限的域擴張稱為有限擴張,否則稱為無限擴張[1]:9[2]:2

例子

複數 實數 的擴域,而 則是有理數 的擴域。這樣,顯然 也是一個域擴張。實數到複數的域擴張次數: 。因為 可以看作是以 的實向量空間。故擴張 是有限擴張[1]:10 ,所以這個擴張是單擴張。

集合 是在 中添加 生成的擴域,顯然也是一個單擴張。它的次數是2,因為 可作為一個基。 的有限擴張也稱為代數數域,在代數數論有重要地位[2]:2

有理數的另一個擴張域是關於一個素數pp進數 。它與 類似,是有理數域完備化得到的數域。但由於使用的拓撲不同,所以與 有着截然不同的性質。

對任何的素數p和正整數n,都存在一個元素個數為pn有限域,記作GF(pn)。它是有限域GF(p)(即 )的擴域。

給定域K和以K中元素為係數的K-不可約多項式P[N 3]PK上的多項式環K[X]的元素。P生成的理想極大理想,因此K[X]/P是域,而且是K的擴域。其中不定元X是多項式P的根。

給定域K,考慮所有以K中元素為係數的有理函數,即可以表示為兩個以K中元素為係數的多項式PQ之比:P/Q的函數。它們構成一個域,記作K(X),是多項式環K[X]的分式域。它是域K的擴域,次數為無限大[1]:10

基本性質

設有域擴張L/K,則擴域LK有相同的加法和乘法單位元。加法群 (K, +) 是 (L,+) 的一個子群,乘法群 (K×, ·) 是 (L×, ·) 的一個子群。因此,LK有相同的特徵

設有域擴張L/K及某個中間域F,則域擴張F/KL/F的次數乘積等於L/K的次數[1]:10[2]:9

 

代數元與超越元

給定域擴張L/K,如果L中一個元素a是某個以K中元素為係數的(非零)多項式(以下簡稱為K-多項式)的,則稱aK上的一個代數元,否則稱其為超越元[1]:10。如果L中每個元素都是K上的代數元,就稱域擴張L/K代數擴張,否則稱其為超越擴張[1]:11。例如  都是 上的代數元,而eπ都是 上的超越元[1]:11 上的代數元和超越元分別叫做代數數超越數

每個有限擴張都是代數擴張,反之則不然[2]:10-11。超越擴張必然是無限擴張。給定域擴張L/K,如果L中元素要麼屬於K,要麼是K上的超越元,則稱LK的純超越擴張。一個單擴張如果由添加代數元生成則是有限擴張,如果由添加超越元生成則是純超越擴張。

極小多項式

給定域擴張L/K,如果L中一個元素aK上的代數元,那麼在所有使得f(a) = 0的首一K-多項式f中,存在一個次數最小的,稱為aK上的極小多項式,記為πa[1]:11-12。設πan次多項式,則中間域K(a)等於所有以a為不定元的K-多項式的集合。更具體地說,等於所有以a為不定元的、次數嚴格小於nK-多項式的集合:K(a) = K[a] = Kn-1[a]。這說明K(a)中任何元素b都可以寫成 的形式。其中 nK中元素。由於πa是極小多項式,所以可推出: 是中間域K(a)作為K-向量空間的基。擴張K(a)/K的次數是[K(a) : K] = n.

可分裂域與代數閉包

分裂域是將某個多項式的根全部添加到其係數域中生成的域擴張,將多項式轉化為域擴張進行研究。給定域擴張L/K,稱一個K-多項式fL可分裂,如果f可以寫成:

 

的形式,即f的每個根都是L中的元素[2]:27-28。如果fL中可分裂,但不在L的任何一個包含K的真子域中可分裂(也就是說L是令f在其中可分裂的「最小」的域擴張),就稱LfK上的可分裂域[2]:28

給定域K,如果所有K-多項式在K都可分裂,則稱K代數閉域[2]:30。給定代數擴張L/K,如果L是代數閉域,則稱其為K代數閉包,一般記作Kalg[2]:31。給定K,則它所有的代數閉包都是K-同構[N 4][2]:35

域擴張的自同構群

除了將擴域看作基域上的向量空間外,另一個研究域擴張的角度是考察域擴張的自同構群。給定域擴張L/KL上的一個自同構σ被稱為K-自同構,當且僅當σ限制在K上的部分是平凡的(即為恆等映射[2]:15-16

 

所有的K-自同構組成一個群,稱為域擴張的自同構群,記作Aut(L/K)。這些自同構描繪了K「以外」的元素可以怎樣相互變換而保持域L的域結構不變[2]:15-16

正規、可分與伽羅瓦擴張

伽羅瓦擴張是伽羅瓦理論中的基礎概念。有限的伽羅瓦擴張滿足伽羅瓦理論基本定理,在此擴張的伽羅瓦群子群與其中間域之間建立了一一對應的關係,從而給出了中間域的清晰描述。

一般定義伽羅瓦擴張是正規可分的域擴張[2]:42。一個域擴張L/K稱為正規擴張,如果對任何一個以K中元素為係數的不可約多項式P,只要它有一個根在L中,則它的所有根都在L中,也就是說可以分解為L上一次因式的乘積[2]:36。正規擴張也叫做准伽羅瓦擴張,它與伽羅瓦擴張的差別是伽羅瓦擴張還是可分擴張。一個代數擴張L/K稱為可分擴張,如果L中每個元素在K上的極小多項式是可分的,即(在 K的一個代數閉包中)沒有重根[2]:42。從以上正規擴張和可分擴張的定義中可以推出:一個域擴張L/K是伽羅瓦擴張,當且僅當它是某個以K中元素為係數的可分多項式的分裂域[2]:42

伽羅瓦擴張的自同構群稱為其伽羅瓦群,記作Gal(L/K)。它的階數(群中元素個數)等於伽羅瓦擴張的次數:[L:K]= | Gal(L/K) |伽羅瓦理論基本定理說明,當伽羅瓦擴張是有限擴張的時候,給定Gal(L/K)的任一個子群H,唯一存在一個中間域KLHL與之對應,這個域LH恰好是L中對所有的H中的自同構固定的元素的集合[2]:51

 

這種對應關係被稱作伽羅瓦對應。給定Gal(L/K)的子群HLH被稱為H對應域。伽羅瓦對應建立了特定條件下域擴張與群論之間轉化的紐帶,通過研究特定群的結構,可以給出域擴張的仔細刻畫。

相關條目

注釋

  1. ^ 即,在不需要強調ι的時候,可以默認基域K是擴域L的子域。
  2. ^ 稱某個代數結構是「最小」的,是指它是所有滿足條件的代數結構的子集。如果承認佐恩引理,則這樣的「最小」者一定存在:它是所有滿足條件的代數結構的交集。下文同。
  3. ^ 這裡的「多項式」指單變量多項式,下文同。
  4. ^ 即兩者間存在環同構φ,並且它限制在K上的部分是平凡的(恆等映射)。

參考來源

  1. ^ 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 Antoine Chambert-Loir. A Field Guide to Algebra. Springer(插圖版). 2005. ISBN 9780387214283 (英語). 
  2. ^ 2.00 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07 2.08 2.09 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 Patrick Morandi. Fields and Galois Theory. Springer(插圖版). 1996. ISBN 9780387947532 (英語). 
  3. ^ Francis Borceux, George Janelidze. Galois Theories. Cambridge University Press(插圖版, 再版). 2001: Preface: x. ISBN 9780521803090 (英語).