哈沙德數

哈沙德數（Harshad number）是可以在某個固定的進位制中，被各位數字之和（數字和）整除的整數。

哈沙德數又稱尼文數，是因為伊萬·尼文在1997年一個有關數論的會議發表的論文。

若一個數無論在任何進位制中都是哈沙德數，稱為全哈沙德數（全尼文數）。只有四個全哈沙德數：1, 2, 4, 6。（12在除八進制以外的進制中均為哈沙德數）

所有在零和進位制的底數之間的數都是哈沙德數。

除非是個位數，否則質數不是哈沙德數。

在十進制中，100以內的哈沙德數 A005349：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100 ...

連續數個整數均為哈沙德數

Cooper和Kennedy在1993年證明了十進制里沒有21個連續整數均是哈沙德數。^[1]^[2]他們亦找到了最小20個連續整數都是哈沙德數的數列，它們大於10^44363342786。

1994年，H.G. Grundman 擴展了Cooper和Kennedy的結果，表明n進制中有無限多組連續2n個整數為哈沙德數，但並無連續2n+1個整數為哈沙德數^[2]^[3]。1996年T. Cai 證明了以下的事實：在二進制存在無限多組連續四個整數為哈沙德數；在三進制存在無限多組六個整數為哈沙德數。^[2]

密度

設N(x)為小於或等於x哈沙德數的數目，對於任何給定的 ε > 0 ，Jean-Marie De Koninck和Nicolas Doyon發現：

x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}

De Koninck、Doyon和Katai證明：

N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}}

當 c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。

其他進制的哈沙德數

12進制:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 1A, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A0, A1, B0, 100, 10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, 1B0, 1BA, 200,...

多重哈沙德數

eg.6804是4重哈沙德數 6804/(6+8+0+4)=6804/18=378 378/(3+7+8)=378/18=21 21/(2+1)=21/3=7 7/7=1

  6804是4重哈沙德数

參考

H. G. Grundmann, Sequences of consecutive Niven numbers, Fibonacci Quart. 32 (1994), 174-175
Jean-Marie De Koninck and Nicolas Doyon, On the number of Niven numbers up to x, Fibonacci Quart. Volume 41.5 (November 2003), 431-440
Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon and I. Katai, On the counting function for the Niven numbers, Acta Arithmetica 106 (2003), 265-275

^ Cooper, Curtis; Kennedy, Robert E., On consecutive Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1993, 31 (2): 146–151 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0776.11003, （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-24）
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav. Handbook of number theory II . Dordrecht: Kluwer Academic. 2004: 382. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
^ Grundman, H. G., Sequences of consecutive n-Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1994, 32 (2): 174–175 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0796.11002, （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-24）

[1] Cooper, Curtis; Kennedy, Robert E., On consecutive Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1993, 31 (2): 146–151 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0776.11003, （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-24）

[HBII382-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav. Handbook of number theory II . Dordrecht: Kluwer Academic. 2004: 382. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.

[3] Grundman, H. G., Sequences of consecutive n-Niven numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1994, 32 (2): 174–175 [2021-10-13], ISSN 0015-0517, Zbl 0796.11002, （原始內容存檔 (PDF)於2015-09-24）

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