史密斯-沃爾泰拉-康托爾集

在數學中，史密斯-沃爾泰拉-康托爾集（SVC），胖康托爾集，或ε-康托爾集是實直線 ℝ 上的無處稠密點集（不包含任何區間），同時具有非零測度。史密斯-沃爾泰拉-康托爾集得名於數學家亨利·史密斯，維多·沃爾泰拉和喬治·康托爾。它同胚於康托爾三分點集，也是一個分形。

當黑色的區間被移除，餘下的白色點構成一個測度為1/2的無處稠密集。

構造

類似於康托爾集，史密斯-沃爾泰拉-康托爾集也是通過從單位區間 [0, 1] 移除某些區間進行構造。
第一步先移除區間 [0, 1] 的中間1/4（也就是移除中點1/2處兩側各1/8的部分），得到餘下的集合為

$\left[0,{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},1\right].$

接下來的步驟是，對於已經得到的2ⁿ⁻¹個區間，移除每一個區間中間長度為1/2²ⁿ的子區間。例如第二步里，區間(5/32, 7/32)與(25/32, 27/32)被移除，餘下

$\left[0,{\frac {5}{32}}\right]\cup \left[{\frac {7}{32}},{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},{\frac {25}{32}}\right]\cup \left[{\frac {27}{32}},1\right].$

繼續不斷地移除，那麼史密斯-沃爾泰拉-康托爾集就是那些永遠不會被移除的點組成的集合。下面的圖片展示出最初的集合和前五步分別得到的集合。

史密斯-沃爾泰拉-康托爾集的構造中，每下一步所移除的區間成比例地小於留下的區間。這可以同康托爾集對比，康托爾集從每個區間移除子區間的長度比例為常量。因此，前者有非零測度，而後者測度為零。

性質

根據構造方法，史密斯-沃爾泰拉-康托爾集不包含任何區間，因而有空的內部。它同時也是一列閉集的交，這意味着它也是閉集。在這過程中，有總長度為

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2^{2n+2}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\,$

的區間被從 [0, 1] 上移除，說明餘下的點集測度為1/2。這使史密斯-沃爾泰拉-康托爾集給出一個邊界有非零勒貝格測度的緊集的例子。

其他胖康托爾集

一般而言，按照此類算法，在每一步里，都從每一個剩餘的區間中移除一個小的子區間，最終會得到一個類康托爾集。這個集合有非零測度當且僅當被移除的這一列區間測度之和比最初的區間小。

參見

• SVC被用於構造沃爾泰拉函數（見外部連結）。
• SVC給出一個若爾當不可測緊集的例子，見若爾當測度。
• SVC的指示函數給出這樣一個例子，它是一個在（0,1）上黎曼不可積的有界函數，而且不存在與之幾乎處處相等的黎曼可積函數，見黎曼積分。

外部連結

• Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, talk by David Marius Bressoud