可分擴張

可分擴張抽象代數域擴張理論中的概念。如果一個代數擴張L/K滿足:任何一個L中元素在基K上的極小多項式都是可分多項式,那麼這個擴張就稱作可分擴張。由於特徵為0的域(包括常見的有理數)以及有限域都是完美域,任何這些域上的代數擴張都是可分擴張,因此可分擴張在域論研究中十分重要。可分擴張還是伽羅瓦擴張的條件之一,因此它在伽羅瓦理論中也扮演了重要的角色。

簡介

域擴張理論和多項式有緊密的關係。給定一個基域K並固定其某個代數閉包Kalg,所有K-多項式f(即以K中元素為係數的多項式)都在Kalg中有根,即存在rf,使得f(rf) = 0。考慮集合 Zf包含了f所有的相異的根,它的元素個數不會超過多項式f的次數,但也不總等於多項式f的次數。例如有理數係數的三次多項式 有三個不同的根:1、0和-1,相異根的個數等於多項式次數。但同樣是三次多項式 就只有兩個根:0和1。

儘管隨着代數閉包Kalg變化,多項式f的根的形式可以不一樣,但多項式相異根的個數是它的內稟屬性。這個屬性對應着域擴張理論中的可分擴張與不可分擴張。

多項式的重根與可分多項式

給定域擴張L/K以及K-多項式f。如果某個L中元素αf的根,那麼f可以分解為兩個L-多項式的乘積:

 .

其中g是一個次數比f少1的多項式。如果α也是g的根,那麼α就被稱作是多項式f的重根。有重根的多項式,相異根的個數必然嚴格小於它的次數。這樣的多項式稱為不可分多項式。反之稱為可分多項式

f分裂域中,可以更清楚的看到重根。給定f的分裂域F/K後,由於fF中可以完全分解為一次因式的乘積:

 .

因此可以看出是否有兩個根相同。

儘管f的根常常在擴域中,但「f是否有重根」的判斷可以直接在K中進行。考慮f形式導數多項式D( f )。如果fD( f )互素,則f沒有重根。否則,fD( f )的公因子就是由f的重根組成的多項式。互素的具體判別方式為:

如果存在K-多項式pq,使得pf + qD( f ) = 1,則fD( f )互素。

定義

一個代數擴張L/K是可分擴張,當且僅當L中任一給定元素ααK上的極小多項式沒有重根。

可分元素與可分次數

給定一個域擴張L/K,如果L中某個元素αK上的極小多項式沒有重根,就稱它為K上的可分元素。顯然所有K中元素都是K上的可分元素。所有可分元素構成一個域,記作Ls是域擴張L/K的中間域。子擴張Ls/K的次數[Ls : K]稱為L/K可分次數,記作[L : K]s。如果Ls = L,則L/K是可分擴張。

L/K有限擴張時,可以定義不可分次數[L : K]i := [L : K]/[L : K]sL/K是可分擴張等價於說不可分次數等於1。

性質

  • 如果L/FF/K都是代數擴張,那L/K是可分擴張當且僅當L/FF/K都是可分擴張。
  • 假設L/K是可分擴張,M/K是任意擴張,並且LM存在,那麼LM/K也是可分擴張。
  • 由以上兩個性質可以推出,對於任何域K,在它的代數閉包Kalg里,所有在K上可分的元素可以構成一個域。稱這個域為K可分閉包,記作Ksep
  • 如果L/K有限可分擴張,那L/K之間只存在有限多個中間域,由本原元定理得出,L/K存在本原元,即存在 使得 

參見

參考文獻