博蘇克-烏拉姆定理

博蘇克-烏拉姆定理表明,任何一個從n維球面歐幾里得n維空間連續函數,都一定把某一對對蹠點映射到同一個點。

n = 2的情形,就是說在地球的表面上,一定存在一對對蹠點,它們的溫度和氣壓相同。這裡假設了溫度和氣壓的變化是連續的。

這個定理首先由烏拉姆猜想。1933年,Karol Borsuk證明了該定理。從博蘇克-烏拉姆定理可以推出布勞威爾不動點定理

一個關於博蘇克-烏拉姆定理的更強的陳述,是每一個保持對蹠點的映射

都具有奇次數

推論

  • Rn的任何子集都不與Sn同胚
  • 如果用n + 1個開集來覆蓋球面Sn,那麼其中一定有一個開集含有一對對蹠點(與博蘇克-烏拉姆定理等價)。
  • 火腿三明治定理(對於任何Rn內的緊集 ,我們總可以找到一個超平面,把每一個緊集都分成兩個具有相同測度的子集)。

參見

參考文獻