數學上的單群(英語:Simple group)是指沒有非平凡正規子群的群。任意一個群如果不是單群,都可以作進一步分解而得到一個非平凡正規子群及對應的商群。這個過程可以一直做下去。對於有限群若爾當-赫爾德定理表明,這個分解過程可以得到該群的唯一的合成列(最多相差一個置換)。在2008年完成的有限單群分類工作是數學史上一個重要的里程碑。

群論


定義

  為群,如果其內的正規子群只有   本身與單位元 組成的群(平凡群) ,則稱之為單群

例子

有限單群

循環群G = Z/3Z,即模3的同餘類在加法運算下形成的群是單群。這是因為,若H是這個群的一個子群,則它的一定是群G的階3的約數,因為3是素數,所以H只能是G或者平凡群。另一方面,群G=Z/12Z就不是單群。因為任意阿貝爾群的子群一定是正規子群,且12為合數,故很容易找到它的一個非平凡正規子群。例如,由模12餘0,4,8的同餘類組成的子群就是它的一個階為3的正規子群。類似地,整數集 Z 與加法運算組成的群也不是單群,由偶數集2Z和加法組成的群是它的一個非平凡正規子群[1]

按照上面的方法可以證明,阿貝爾單群只有素數階循環群。最小的非阿貝爾單群是交錯群   ,它的階是60,而且可以證明每一個階為60的單群都與   同構[2]。第二小的非阿貝爾單群是射影特殊線性群  ,它的階是168。可以證明,階為168的單群都與   同構[3][4]

 是有限域上的典型群的一個例子,它也是一個有限階李群。除了素數階循環群、交錯群和有限階李群(包括典型群和例外或纏繞李群)之外的有限單群統稱為散在群,詳見有限單群分類

無限階單群

無限階交錯群,即由整數的所有偶置換組成的群 是單群。另一個無限階單群的例子是域 上的射影特殊線性群 ,其中  

相比之下,要構造有限生成的無限階單群就困難得多,最早的例子由格雷厄姆·希格曼英語Graham Higman提出,它是希格曼群英語Higman group的子群[5]。 其它的例子包括湯普森群 T 和 V。有限表現無撓(torsion-free)的無限單群被伯格-莫澤什(Burger-Mozes)構建。[6]

分類

到目前為止,未有對一般單群進行分類的方法。

有限單群

有限單群是很重要的,因為在一定意義上,它們是所有有限群的「基本組成部分」,有點類似於質數整數的基本組成部分。

有限單群的結構

法伊特-湯普森定理聲稱,所有的奇數階群都是可解群。 因此,除素數階循環群外,所有有限單群的階都是偶數。

群的非單性判據

西羅測試:設n為一正合數,p是它的一個素因子。 若在n的所有約數中只有 1 模p同餘於 1,則不存在階為n的單群。

證明:如n為一素數冪,則階數為n的群有非平凡的中心[7],因而不是單群。若n不是素數冪,則階數為n的群的每一個西羅子群都是真子群,由西羅第三定理可知, 階數為n的群的西羅p-子群的個數模p同餘於1且為n的約數。但由上面的假設,這樣的數只有1,這表明該群只有一個西羅p-子群,因此,根據西羅定理,該西羅子群是正規子群。根據上面的討論,它又是一個真子群,從而它是階數為n的群的一個非平凡正規子群,所以階數為n的群不是單群。

另一個證明一個群不是單群的方法是利用同態映射,因為對於一個群 而言,其子群 正規子群當且僅當 是某個關於 的同態映射的

重要性

「單群」之「單」在於它們不能再化約為較容易處理的群,因為正規子群   可以對將   的一部分研究化約為對商群    的研究,而對單群無法行此化約。

有限單群之於有限群論,一如素數之於整數論;它們可以被視為有限群的基本構件。

參閱

參考文獻

  1. ^ Knapp (2006), p. 170
  2. ^ Rotman (1995), p. 226
  3. ^ Rotman (1995), p. 281
  4. ^ Smith & Tabachnikova (2000), p. 144
  5. ^ Higman, Graham, A finitely generated infinite simple group, Journal of the London Mathematical Society. Second Series, 1951, 26 (1): 61–64, ISSN 0024-6107, MR 0038348, doi:10.1112/jlms/s1-26.1.59 
  6. ^ M. Burger and S. Mozes. " Lattices in product of trees." Publ. Math. IHES 92 (2000), pp.151–194.
  7. ^ 例如,參見P-群里的證明

教科書

  • Knapp, Anthony W., Basic algebra, Springer, 2006, ISBN 978-0-8176-3248-9 
  • Rotman, Joseph J., An introduction to the theory of groups, Graduate texts in mathematics 148, Springer, 1995, ISBN 978-0-387-94285-8 
  • Smith, Geoff; Tabachnikova, Olga, Topics in group theory, Springer undergraduate mathematics series 2, Springer, 2000, ISBN 978-1-85233-235-8 

外部連結