加托導數

數學上,加托導數(英文: Gâteaux derivative)是微分學中的方向導數的概念的推廣。它以勒內·加托命名,他是一位法國數學家,年青時便死於第一次世界大戰。它定義於局部凸拓撲向量空間上,可以和巴拿赫空間上的弗雷歇導數作對比。二者都經常用於形式化泛函導數的概念,常見於變分法物理學,特別是量子場論。和其他形式的導數不同,加托導數是非線性的。

定義

假設   局部凸拓撲向量空間,(例如巴拿赫空間),  是開集合(open set),且    在點   沿着   方向的加托偏微分(Gâteaux differential)   定義為

 

如果極限存在。固定    對於所有   都存在,則稱    是加托可微(Gâteaux differentiable )。若    是加托可微,稱   為在   的加托導數。

  是在  連續可微的

 

連續的。

屬性

若加托導數存在,則其為唯一。

對於每個 ,加托導數是一個算子 。 該算子是齊次的,使得

 ,但是它通常不是可加的,並且,因此而不總是線性的,不像Fréchet導數

例子

  為一個在歐幾里得空間   勒貝格可測集   上的平方可積函數希爾伯特空間,也就是說   是勒貝格可測集  。泛函  

 

給出,其中   是一個定義在實數上的可微值函數且    為定義在   的實數值函數,則加托導數為

  這符號代表  .

更詳細的說:

 
 
 

  (並假設所有積分有定義),得到加托導數

 

也就是,內積 

參看

參考