分圓多項式

$n$ 次分圓多項式，是指多項式 $x^{n}-1$ 分解因式結果中的一個特定多項式 $f(x)$，滿足 $f(x)=0$ 的解都不是低於 $n$ 次的形如 $x^{n}-1=0$ 的方程的解。

n次的分圓多項式的根是 $\mathrm {e} ^{\frac {2\mathrm {i} \pi k}{n}}$（對所有滿足 $\gcd(k,n)=1$ 的整數 $k$）。

例子

下表是幾個次數較低的分圓多項式。

次數	對應的分圓多項式
1	$x-1$
2	$x+1$
3	$x^{2}+x+1$
4	$x^{2}+1$
5	$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$
6	$x^{2}-x+1$
7	$x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$
8	$x^{4}+1$
9	$x^{6}+x^{3}+1$
10	$x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$
11	$x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$
12	$x^{4}-x^{2}+1$

性質

基礎性質： 分圓多項式是整系數的不可約多項式，對於 $x^{n}-1$ 的分圓多項式 $f(n)$ ，有 $f(n)$ 的次數為 $\varphi (n)$，其中 $\varphi (n)$ 是歐拉函數。

計算： 對於n為質數的分圓多項式，我們有： $f\left(x\right)=1+x+x^{2}+...+x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}$