双曲正弦

双曲正弦
性质
奇偶性
定义域 (-∞,∞)
到达域 (-∞,∞)
特定值
当x=0 0
当x=+∞ +∞
当x=-∞ -∞
最大值 +∞
最小值 -∞
其他性质
渐近线 N/A
0
临界点 N/A
拐点 0

在数学中,双曲正弦是一种双曲函数,是双曲几何中,与欧几里得几何的正弦函数相对应的函数。双曲正弦可以视为正弦函数的类似物,然而双曲正弦不具备周期性,且在定义域为实数的情况下,其值域也包括了整个实数域。一般的正弦可以表示为单位圆上特定角构成之弦长的一半,或该角与圆之交点的y座标;而双曲正弦则代表单位双曲线上特定双曲角构成之双曲弦长的一半,或该双曲角与单位双曲线之交点的y座标。双曲正弦一般以sinh表示[1],在部分较旧的文献中有时会以表示。[2]

定义

双曲正弦一般计为 [3](有时会简写为 [4]),其在复变分析中定义为:[5]

 

其中 复变指数函数日语複素指数函数

 
复数域双曲正弦的色相环复变函数图形

也就是说,双曲正弦等同于指数函数与其倒数之差的一半[6]。双曲正弦也可以视为自然指数函数奇函数部分英语Even–odd decomposition#Even–odd decomposition[7]

在双曲几何中,双曲正弦函数类似于欧几里得几何中的正弦函数。[8]

性质

一般性质

  • 双曲正弦在实数中是一个连续函数,在复数中是一个全纯函数,因此在整个复数域中双曲正弦处处可微,其导函数为双曲馀弦函数。[9]
  • 双曲正弦是一个奇函数。[10]
  • 在实数域中,双曲正弦是一个严格递增函数。其中在区间 上是凹函数、在区间 上是凸函数[9]

三角学性质

根据双曲正弦与双曲馀弦的指数定义,可以推得:[8][11]

 
 

其与经典的欧拉公式类似。

 时,有以下恒等式:[8][12]

 
 [8]
 
 
 
 

特殊值

双曲正弦存在一些特殊值[5]

  •  
  •  
  •  
  •  

其中 为黄金比例

参见

参考文献

  1. ^ (1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN 0 00 472257 4, p. 1386
  2. ^ Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch, Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte, Fachbuchverlag Leipzig. 1956 (德文) 
  3. ^ ISO 80000-2:2009. International Organization for Standardization. [1 July 2010]. (原始内容存档于2014-03-26). 
  4. ^ Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich. Table of Integrals, Series, and Products 6. Academic Press, Inc. 2000. ISBN 978-0-12-294757-5. 
  5. ^ 5.0 5.1 Weisstein, Eric W. (编). Hyperbolic Sine. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  6. ^ sinh 双曲正弦. mathworks. [2021-07-11]. (原始内容存档于2021-07-12). 
  7. ^ Richard Hensh. Even and Odd Parts of an Exponential Function (PDF). math.msu.edu. [2021-07-11]. (原始内容存档 (PDF)于2021-07-11). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 Weisstein, Eric W. (编). Hyperbolic Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-08-29] (英语). 
  9. ^ 9.0 9.1 The hyperbolic functions (PDF). mathcentre.ac.uk. [2021-07-11]. (原始内容存档 (PDF)于2021-01-19). 
  10. ^ Hyperbolic Functions (PDF). teaching.martahidegkuti.com. [2021-09-15]. (原始内容存档 (PDF)于2020-01-13). 
  11. ^ Hyperbolic Functions. www.mathsisfun.com. [2020-08-29]. (原始内容存档于2022-03-03). 
  12. ^ Osborn, G. Mnemonic for hyperbolic formulae. The Mathematical Gazette. July 1902, 2 (34): 189 [2021-09-15]. JSTOR 3602492. doi:10.2307/3602492. (原始内容存档于2021-11-01).