滑动模式控制 （sliding mode）简称SMC ，是一种非线性控制 的技术，利用不连续 的控制信号来调整非线性系统 的特性，强迫系统在二个系统的正常状态之间滑动，最后进入稳态。其状态 -反馈 控制律不是时间的连续函数 。相反的，控制律会依目前在状态空间中的位置不同，可能从一个连续的控制系统切换到另一个连续的控制系统。因此滑动模型控制属于变结构控制 。已针对滑动模型控制设计了许多的控制结构，目的是让相空间图中的轨迹可以前往和另一个控制结构之间相邻的区域，因此最终的轨迹不会完全脱离某个控制结构。相反的，轨迹会在控制结构的边界上“滑动”。这种沿著控制结构之间边界滑动的行为称为“滑动模式”[ 1] 变结构系统 （例如滑动模式控制）都可以视为是并合系统 的特例，因为系统有些时候会在连续的状态空间中移动，也时也会在几个离散的控制模式中切换。
考虑以下的非线性系统
x
˙
(
t
)
=
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
(
t
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\,\mathbf {u} (t)}
(
1
)
{\displaystyle (1)\,}
其中
x
(
t
)
≜
[
x
1
(
t
)
x
2
(
t
)
⋮
x
n
−
1
(
t
)
x
n
(
t
)
]
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n-1}(t)\\x_{n}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}}
是
n
{\displaystyle n}
状态 向量 以及
u
(
t
)
≜
[
u
1
(
t
)
u
2
(
t
)
⋮
u
m
−
1
(
t
)
u
m
(
t
)
]
∈
R
m
{\displaystyle \mathbf {u} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{m-1}(t)\\u_{m}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{m}}
为表示状态反馈 的
m
{\displaystyle m}
函数
f
:
R
n
×
R
↦
R
n
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ^{n}}
B
:
R
n
×
R
↦
R
n
×
m
{\displaystyle B:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ^{n\times m}}
连续函数 ，而且有相当程度的光滑性 ，因此可以用柯西-利普希茨定理 确保方程 (1)的解
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
存在 及唯一 。
常见的作法是设计一个状态回授的控制律
u
(
x
(
t
)
)
{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} (t))}
t
{\displaystyle t}
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
稳定 方程式(1)的动力系统 在原点
x
=
[
0
,
0
,
…
,
0
]
T
{\displaystyle \mathbf {x} =[0,0,\ldots ,0]^{\text{T}}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
x
1
{\displaystyle x_{1}}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
x
1
{\displaystyle x_{1}}
x
1
=
0
{\displaystyle x_{1}=0}
平衡点 ）。滑动模式控制会强迫系统轨迹进入子空间，并且让轨迹维持在子空间内，因此可以在子空间内滑动。这个降阶的子空间称为“滑动（超）曲面”，若透过闭回路回授，使得轨迹在滑动曲面上滑动，则称为闭回路系统的“滑动模式”。沿著这个子空间的轨迹可以类比沿著LTI系统 特征向量的轨迹，不过滑动模式是透过此向量场上加上高增益回授来实现。就像弹珠会沿著裂缝滚动一样，系统的轨迹也会限制在滑动模式上。
滑动模式的控制架构包括以下几项：
选择超曲面 或是流形（滑动曲面）让系统轨迹限制在此流形上时，可以有理想的特性。
选择回授增益，让系统轨迹可以和流形相交，而且之后可以维持在流形上。 因为滑动模式控制是不连续的，控制器可以在有限时间内将轨迹带到滑动模式上（若偏离滑动平面时，回到滑动平面上的稳定性会比渐近稳定要好）。不过，只要轨迹接触到滑动平面后，系统的特性会依照滑动模式的特性（也就是滑动平面上，在原点
x
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }
在设计滑动模式时，会选择一个切换函数
σ
:
R
n
↦
R
m
{\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{m}}
在滑动平面外的状态
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
σ
(
x
)
≠
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\neq 0}
在滑动平面上的状态
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
滑动模式控制律会依照上述距离的正负号在二种不同的状态之间进行切换。因此滑动模式控制就类似一个硬的压力，将系统轨迹移到
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
x
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {x} (t)}
x
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }
地形图 ，有恒定高度的轮廓，而轨迹会限制在恒定高度的轮廓上移动。
滑动（超）曲面的维度是
n
×
m
{\displaystyle n\times m}
n
{\displaystyle n}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
m
{\displaystyle m}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
1
≤
k
≤
m
{\displaystyle 1\leq k\leq m}
n
×
1
{\displaystyle n\times 1}
{
x
∈
R
n
:
σ
k
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma _{k}(\mathbf {x} )=0\right\}}
(
2
)
{\displaystyle (2)\,}
滑动模式控制主要关键是选择控制律，使得滑动模式（也就是
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
为了强迫系统状态
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
确认系统可以从任意的初始条件到达
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
在到达
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
此控制律不是连续函数 ，也不会是利普希茨连续 ，因此无法用柯西-利普希茨定理 确保闭回路解的存在及唯一性。这个解需要用Filippov [ 1] [ 6]
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
σ
˙
(
x
)
=
0
;
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} ;}
脉波振幅调变 或ΔΣ调变 产生的输出是两个状态组成而成，但其有效的输出会在连续的运动范围内摆动。若是使用其他具有连续特性的非线性控制 设计可以避免这类的问题。有些情形下，滑动模式控制的设计可以用其他连续控制器来近似。[ 5]
以下定理是滑动模式控制的基础。
考虑以下的李亚普诺夫候选函数
V
(
σ
(
x
)
)
=
1
2
σ
T
(
x
)
σ
(
x
)
=
1
2
‖
σ
(
x
)
‖
2
2
{\displaystyle V(\sigma (\mathbf {x} ))={\frac {1}{2}}\sigma ^{\text{T}}(\mathbf {x} )\sigma (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\|\sigma (\mathbf {x} )\|_{2}^{2}}
(
3
)
{\displaystyle (3)\,}
其中
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|}
欧几里德范数 （也就是说，
‖
σ
(
x
)
‖
2
{\displaystyle \|\sigma (\mathbf {x} )\|_{2}}
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
针对由方程式(1)及方程式(1)的滑动曲面组成的系统，滑动模式存在的充份条件是
σ
T
⏞
∂
V
∂
σ
σ
˙
⏞
d
σ
d
t
⏟
d
V
d
t
<
0
(i.e.,
d
V
d
t
<
0
)
{\displaystyle \underbrace {\overbrace {\sigma ^{\text{T}}} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \sigma }}\overbrace {\dot {\sigma }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}} _{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0\qquad {\text{(i.e., }}{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0{\text{)}}}
在
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
简单来说（例如针对
m
=
1
{\displaystyle m=1}
纯量 控制应用），为了要使
σ
T
σ
˙
<
0
{\displaystyle \sigma ^{\text{T}}{\dot {\sigma }}<0}
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
σ
{\displaystyle \sigma }
σ
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}}
当
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
σ
˙
(
x
)
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}
当
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
σ
˙
(
x
)
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}
注意
σ
˙
=
∂
σ
∂
x
x
˙
⏞
d
x
d
t
=
∂
σ
∂
x
(
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
)
⏞
x
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\dot {\mathbf {x} }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\mathbf {u} \right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}}
因此回授控制律
u
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}
σ
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}}
为了要确保可以在有限时间内进入滑动模式
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
d
V
/
d
t
{\displaystyle \operatorname {d} V/{\operatorname {d} t}}
[ 7]
d
V
d
t
≤
−
μ
(
V
)
α
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\sqrt {V}})^{\alpha }}
其中
μ
>
0
{\displaystyle \mu >0}
0
<
α
≤
1
{\displaystyle 0<\alpha \leq 1}
比较引理的说明 引理的条件确认在滑动模式
V
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle V\in [0,1]}
d
V
d
t
≤
−
μ
(
V
)
α
≤
−
μ
V
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\sqrt {V}})^{\alpha }\leq -\mu {\sqrt {V}}.}
因此，针对
V
∈
(
0
,
1
]
{\displaystyle V\in (0,1]}
1
V
d
V
d
t
≤
−
μ
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {V}}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ,}
根据链式法则 （也就是
d
W
/
d
t
{\displaystyle \operatorname {d} W/{\operatorname {d} t}}
W
≜
2
V
{\displaystyle W\triangleq 2{\sqrt {V}}}
D
+
(
2
V
⏞
∝
‖
σ
‖
2
⏟
W
)
⏟
D
+
W
≜
Upper right-hand
W
˙
=
1
V
d
V
d
t
≤
−
μ
{\displaystyle {\mathord {\underbrace {D^{+}{\Bigl (}{\mathord {\underbrace {2{\mathord {\overbrace {\sqrt {V}} ^{{}\propto \|\sigma \|_{2}}}}} _{W}}}{\Bigr )}} _{D^{+}W\,\triangleq \,{\mathord {{\text{Upper right-hand }}{\dot {W}}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu }
其中
D
+
{\displaystyle D^{+}}
2
V
{\displaystyle 2{\sqrt {V}}}
狄尼上导数
∝
{\displaystyle \propto }
比例 。因此将上式和曲线
z
(
t
)
=
z
0
−
μ
t
{\displaystyle z(t)=z_{0}-\mu t}
z
(
0
)
=
z
0
{\displaystyle z(0)=z_{0}}
z
˙
=
−
μ
{\displaystyle {\dot {z}}=-\mu }
2
V
(
t
)
≤
V
0
−
μ
t
{\displaystyle 2{\sqrt {V(t)}}\leq V_{0}-\mu t}
t
{\displaystyle t}
V
≥
0
{\displaystyle {\sqrt {V}}\geq 0}
V
{\displaystyle {\sqrt {V}}}
V
=
0
{\displaystyle {\sqrt {V}}=0}
V
{\displaystyle V}
V
=
0
{\displaystyle V=0}
[ 5]
V
{\displaystyle {\sqrt {V}}}
σ
{\displaystyle \sigma }
‖
⋅
‖
2
{\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|_{2}}
针对方程式 (1)的系统，以及方程式 (2)的滑动曲面，
{
x
∈
R
n
:
σ
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} \}}
{
x
∈
R
n
:
σ
T
(
x
)
σ
˙
(
x
)
<
0
}
{\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma ^{\text{T}}(\mathbf {x} ){\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )<0\}}
也就是说，当初始条件完全由这个空间出发时，李亚普诺夫候选函数
V
(
σ
)
{\displaystyle V(\sigma )}
李亚普诺夫函数 ，而且
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
V
˙
{\displaystyle {\dot {V}}}
σ
=
0
{\displaystyle \sigma =0}
令
∂
σ
∂
x
B
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial {\mathbf {x} }}}B(\mathbf {x} ,t)}
为非奇异 的，也就是说，系统有某种可控制性 使得永远存在一种控制方式可以让轨迹更靠近滑动模式。只要达到了滑动模式
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
σ
(
x
)
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}
σ
˙
=
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}=\mathbf {0} }
若相对微分方程在
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
平衡 是稳定 的，则系统会沿著滑动模式表面往平衡点移动。
滑动模式下的“等效控制律”可以透过求解下式求得
σ
˙
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=0}
等效控制律为
u
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}
∂
σ
∂
x
(
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
)
⏞
x
˙
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\mathbf {u} \right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }
因此等效控制
u
=
−
(
∂
σ
∂
x
B
(
x
,
t
)
)
−
1
∂
σ
∂
x
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {u} =-\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)}
也就是说，就算实际的控制
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
连续 ，在滑动模式
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
类似的，在滑动模式上的系统轨迹类似
x
˙
=
f
(
x
,
t
)
−
B
(
x
,
t
)
(
∂
σ
∂
x
B
(
x
,
t
)
)
−
1
∂
σ
∂
x
f
(
x
,
t
)
⏞
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
=
f
(
x
,
t
)
(
I
−
B
(
x
,
t
)
(
∂
σ
∂
x
B
(
x
,
t
)
)
−
1
∂
σ
∂
x
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {f(\mathbf {x} ,t)-B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)} ^{f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u}=f(\mathbf {x} ,t)\left(\mathbf {I} -B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\right)}
所得的系统符合滑动模式的微分方程
σ
˙
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
只要滑动模式表面
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
李雅普诺夫稳定性 ，从到达相位的轨迹条件可以简化为上述较简单的条件。因此系统在找到滑动模式后，会经过一些初始的暂态，之后就可以假定为符合较简单的
σ
˙
=
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}=0}
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }
依照上述定理，滑动运动对于由进入系统时足够小的扰动是不敏感的，只要控制项大到足以满足
σ
T
σ
˙
<
0
{\displaystyle \sigma ^{\text{T}}{\dot {\sigma }}<0}
σ
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}}
鲁棒控制 。
如同以上提到的，滑动模式控制律会维持以下的限制
x
˙
+
x
=
0
{\displaystyle {\dot {x}}+x=0}
目的是为了让以下型态的任意系统可以渐近的稳定
x
¨
=
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
+
u
{\displaystyle {\ddot {x}}=a(t,x,{\dot {x}})+u}
其中
a
(
⋅
)
{\displaystyle a(\cdot )}
x
˙
=
−
x
{\displaystyle {\dot {x}}=-x}
（也就是说，
x
˙
+
x
=
0
{\displaystyle {\dot {x}}+x=0}
稳定 的线性系统 ，因此在
(
x
,
x
˙
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle (x,{\dot {x}})=(0,0)}
考虑一个由方程(1)描述的受控体 ，有单一输入
u
{\displaystyle u}
m
=
1
{\displaystyle m=1}
σ
(
x
)
≜
s
1
x
1
+
s
2
x
2
+
⋯
+
s
n
−
1
x
n
−
1
+
s
n
x
n
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\triangleq s_{1}x_{1}+s_{2}x_{2}+\cdots +s_{n-1}x_{n-1}+s_{n}x_{n}}
(
4
)
{\displaystyle (4)\,}
其中的加权
s
i
>
0
{\displaystyle s_{i}>0}
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle 1\leq i\leq n}
单纯形
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
σ
˙
(
x
)
=
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=0}
因此
s
1
x
˙
1
+
s
2
x
˙
2
+
⋯
+
s
n
−
1
x
˙
n
−
1
+
s
n
x
˙
n
=
0
{\displaystyle s_{1}{\dot {x}}_{1}+s_{2}{\dot {x}}_{2}+\cdots +s_{n-1}{\dot {x}}_{n-1}+s_{n}{\dot {x}}_{n}=0}
这是降阶系统（新系统的阶数为
n
−
1
{\displaystyle n-1}
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
x
=
0
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }
李亚普诺夫函数 的导数，可得
V
˙
(
σ
(
x
)
)
=
σ
(
x
)
T
⏞
∂
σ
∂
x
σ
˙
(
x
)
⏞
d
σ
d
t
{\displaystyle {\dot {V}}(\sigma (\mathbf {x} ))=\overbrace {\sigma (\mathbf {x} )^{\text{T}}} ^{\tfrac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}}
为了要确保
V
˙
{\displaystyle {\dot {V}}}
负定函数 （也就是
V
˙
<
0
{\displaystyle {\dot {V}}<0}
σ
=
0
{\displaystyle \mathbf {\sigma } =0}
李雅普诺夫稳定性 ），需选择回授控制律
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
{
σ
˙
<
0
if
σ
>
0
σ
˙
>
0
if
σ
<
0
{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\sigma }}<0&{\text{if }}\sigma >0\\{\dot {\sigma }}>0&{\text{if }}\sigma <0\end{cases}}}
因此
σ
σ
˙
<
0
{\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}
σ
˙
(
x
)
=
∂
σ
(
x
)
∂
x
x
˙
⏞
σ
˙
(
x
)
=
∂
σ
(
x
)
∂
x
(
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
)
⏞
x
˙
=
[
s
1
,
s
2
,
…
,
s
n
]
⏞
∂
σ
(
x
)
∂
x
(
f
(
x
,
t
)
+
B
(
x
,
t
)
u
)
⏞
x
˙
⏟
( i.e., an
n
×
1
vector )
{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\overbrace {{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}={\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {[s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}]} ^{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\underbrace {\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}} _{{\text{( i.e., an }}n\times 1{\text{ vector )}}}}
(
5
)
{\displaystyle (5)\,}
控制律
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
u
(
x
)
=
{
u
+
(
x
)
if
σ
(
x
)
>
0
u
−
(
x
)
if
σ
(
x
)
<
0
{\displaystyle u(\mathbf {x} )={\begin{cases}u^{+}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )>0\\u^{-}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )<0\end{cases}}}
其中
u
+
(
x
)
{\displaystyle u^{+}(\mathbf {x} )}
σ
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
u
−
(
x
)
{\displaystyle u^{-}(\mathbf {x} )}
σ
˙
{\displaystyle {\dot {\sigma }}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
所得的轨迹会往滑动曲面
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
x
¨
=
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
+
u
{\displaystyle {\ddot {x}}=a(t,x,{\dot {x}})+u}
可以用二维的状态空间 （其中with
x
1
=
x
{\displaystyle x_{1}=x}
x
2
=
x
˙
{\displaystyle x_{2}={\dot {x}}}
{
x
˙
1
=
x
2
x
˙
2
=
a
(
t
,
x
1
,
x
2
)
+
u
{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{2}\\{\dot {x}}_{2}=a(t,x_{1},x_{2})+u\end{cases}}}
也假设
sup
{
|
a
(
⋅
)
|
}
≤
k
{\displaystyle \sup\{|a(\cdot )|\}\leq k}
|
a
|
{\displaystyle |a|}
k
{\displaystyle k}
σ
(
x
1
,
x
2
)
=
x
1
+
x
2
=
x
+
x
˙
{\displaystyle \sigma (x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}=x+{\dot {x}}}
在之前的例子中，必须选择回授控制律
u
(
x
,
x
˙
)
{\displaystyle u(x,{\dot {x}})}
σ
σ
˙
<
0
{\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}
σ
˙
=
x
˙
1
+
x
˙
2
=
x
˙
+
x
¨
=
x
˙
+
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
+
u
⏞
x
¨
{\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {x}}_{1}+{\dot {x}}_{2}={\dot {x}}+{\ddot {x}}={\dot {x}}\,+\,\overbrace {a(t,x,{\dot {x}})+u} ^{\ddot {x}}}
当
x
+
x
˙
<
0
{\displaystyle x+{\dot {x}}<0}
σ
<
0
{\displaystyle \sigma <0}
σ
˙
>
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}>0}
u
>
|
x
˙
+
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
|
{\displaystyle u>|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}
当
x
+
x
˙
>
0
{\displaystyle x+{\dot {x}}>0}
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
σ
˙
<
0
{\displaystyle {\dot {\sigma }}<0}
u
<
−
|
x
˙
+
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
|
{\displaystyle u<-|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}
不过，因为三角不等式 ，
|
x
˙
|
+
|
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
|
≥
|
x
˙
+
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
|
{\displaystyle |{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|\geq |{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}
依照
|
a
|
{\displaystyle |a|}
|
x
˙
|
+
k
+
1
>
|
x
˙
|
+
|
a
(
t
,
x
,
x
˙
)
|
{\displaystyle |{\dot {x}}|+k+1>|{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|}
因此系统可以利用以下的控制律进行回授稳定（回到滑动模式）
u
(
x
,
x
˙
)
=
{
|
x
˙
|
+
k
+
1
if
x
+
x
˙
⏟
<
0
,
−
(
|
x
˙
|
+
k
+
1
)
if
x
+
x
˙
⏞
σ
>
0
{\displaystyle u(x,{\dot {x}})={\begin{cases}|{\dot {x}}|+k+1&{\text{if }}\underbrace {x+{\dot {x}}} <0,\\-\left(|{\dot {x}}|+k+1\right)&{\text{if }}\overbrace {x+{\dot {x}}} ^{\sigma }>0\end{cases}}}
可以表示为以下的解析解
u
(
x
,
x
˙
)
=
−
(
|
x
˙
|
+
k
+
1
)
sgn
(
x
˙
+
x
⏞
σ
)
⏟
(i.e., tests
σ
>
0
)
{\displaystyle u(x,{\dot {x}})=-(|{\dot {x}}|+k+1)\underbrace {\operatorname {sgn} (\overbrace {{\dot {x}}+x} ^{\sigma })} _{{\text{(i.e., tests }}\sigma >0{\text{)}}}}
假设系统轨迹会受限制，因此
σ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}
x
˙
=
−
x
(i.e.,
σ
(
x
,
x
˙
)
=
x
+
x
˙
=
0
)
{\displaystyle {\dot {x}}=-x\qquad {\text{(i.e., }}\sigma (x,{\dot {x}})=x+{\dot {x}}=0{\text{)}}}
因此只要系统进入滑动模式，系统的二维动态特性会像一维的系统，而且在
(
x
,
x
˙
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle (x,{\dot {x}})=(0,0)}
驻点 。
在设计滑动模式的控制系统时，虽然有许多不同的理论，不过没有一个高效率的设计方法论，原因因为解析方法及数值方法实务上的困难。像是基因演算法 之类可复用的方式，可以用来将最佳设计 [ 8]
^ 1.0 1.1 Zinober, A.S.I. (编). Deterministic control of uncertain systems . London: Peter Peregrinus Press. 1990. ISBN 978-0-86341-170-0 ^ Utkin, Vadim I. Sliding Mode Control Design Principles and Applications to Electric Drives. IEEE Transactions on Industrial Electronics (IEEE). 1993, 40 (1): 23–36. doi:10.1109/41.184818 ^ " Autonomous Navigation and Obstacle Avoidance of Unmanned Vessels in Simulated Rough Sea States - Villanova University" [2017-07-11 ] . （原始内容存档 于2021-02-04）. ^ Mahini; et al. An experimental setup for autonomous operation of surface vessels in rough seas. Robotica. 2013, 31 (5): 703–715. doi:10.1017/s0263574712000720 ^ 5.0 5.1 5.2 5.3 Khalil, H.K. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2002 [2017-08-09 ] . ISBN 0-13-067389-7存档 于2017-07-25）. ^ Filippov, A.F. Differential Equations with Discontinuous Right-hand Sides. Kluwer. 1988. ISBN 978-90-277-2699-5 ^ Perruquetti, W.; Barbot, J.P. Sliding Mode Control in Engineering . Marcel Dekker Hardcover. 2002. ISBN 0-8247-0671-4 ^
Li, Yun; et al. Genetic algorithm automated approach to the design of sliding mode control systems (PDF) . International Journal of Control. 1996, 64 (3): 721–739. doi:10.1080/00207179608921865
![{\displaystyle \mathbf {x} =[0,0,\ldots ,0]^{\text{T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda44ad2c8056fef71ad87641dc54d19804d2b1a)
![{\displaystyle V\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c3f7b41a454e2fe2a6c9b33fbb6b5ba54b94c6b)
![{\displaystyle V\in (0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4010b1a43952629bdb6b144b4ab5b2215a56ff)
![{\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\overbrace {{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}={\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {[s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}]} ^{\frac {\partial {\sigma (\mathbf {x} )}}{\partial {\mathbf {x} }}}\underbrace {\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u\right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}} _{{\text{( i.e., an }}n\times 1{\text{ vector )}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83addfbda19106b2d11cc1e40c0e0eaf94805c6c)
