核主成分分析

統計方法

核主成分分析(英语:kernel principal component analysis,简称kernel PCA)是多变量统计领域中的一种分析方法,是使用核方法主成分分析的非线性扩展,即将原数据通过核映射到再生核希尔伯特空间英语Reproducing kernel Hilbert space后再使用原本线性的主成分分析。[1]

背景:线性主成分分析

线性PCA对于中心化后的数据进行分析,即

 ,

其中  个多变量样本之一。之后将协方差矩阵

 

对角化。换言之,即是对协方差矩阵进行特征分解

 

或写作

 .[2]

引入核方法

一般而言,N个数据点在 维空间中是线性不可分的,但它们在 维空间中则是几乎必然线性可分的。这也意味着,如果我们能将N个数据点 映射到一个N维空间

  其中  

中,就能很容易地构建一个超平面将数据点作任意聚类。不过由于经 映射后的向量是线性无关的,我们无法再像在线性PCA中那样显式地对协方差进行特征分解。

而在核PCA中,我们能够使用任意非平凡的函数 ,但无需显式地计算在高维空间中的值,使我们得以使用非常高维的 。为了避免直接在 -空间(即特征空间)中操作,我们可以定义一个 的核

 

来代表特征空间的内积空间(见格拉姆矩阵)。这一对偶形式使我们能够进行主成分分析,同时又不用直接在 -空间中解协方差矩阵的特征值与特征向量。K中每一列的N个元素代表了转换后的一个数据点与所有N个数据点的点积。

由于我们并不在特征空间中进行计算,核PCA方法不直接计算主成分,而是计算数据点在这些主成分上的投影。特征空间中的一点在第k个主成分 上的投影为

 

其中 代表点积,即核 中的元素。上式中剩下的部分 可以通过解特征方程

 

得到,其中N为数据点的数量,  则分别为 的特征值与特征向量。为了归一化 ,我们要求

 

值得注意的是,无论是否在原空间中对 中心化,我们无法保证数据在特征空间中是中心化的。由于PCA要求对数据中心化,我们可以对K“中心化”:

 

其中 代表一个每个元素值皆为  矩阵。于是我们可以使用 进行前述的核PCA计算。[2]

在使用核PCA时,还有一点值得注意。在线性PCA中,我们可以通过特征值的大小对特征向量进行排序,以度量每个主成分所能够解释的数据方差。这对于数据降维十分有用,而这一技巧也可以用在核PCA中。不过,在实践中有时会发现得到所有方差皆相同,这通常是源于错误选择了核的尺度。

大数据集

在实践中,大数据集会使K变得很大,从而导致存储问题。一种解决方式是先对数据集聚类,然后再对每一类的均值进行核PCA计算。有时即便使用此种方法仍会导致相对很大的K,此时我们可以只计算K中最大的P个特征值及相对应的特征向量。

示例

 
应用核PCA前的数据点
 
使用核 进行核PCA分析后的数据点
 
使用高斯核进行核PCA分析后的数据点

考虑图中所示的三组同心点云,我们试图使用核PCA识别这三组。图中各点的颜色并不是算法的一部分,仅用于展示各组数据点在变换前后的位置。

首先,我们使用核

 

进行核PCA处理,得到的结果如第二张图所示。

其次,我们再使用高斯核

 

该核是数据接近程度的一种度量,当数据点重合时为1,而当数据点相距无限远时则为0。结果为第三张图所示。

此时我们注意到,仅通过第一主成分就可以区别这三组数据点。而这对于线性PCA而言是不可实现的,因而线性PCA只能在给定维(此处为二维)空间中操作,而此时同心点云是线性不可分的。

应用

核PCA方法还可用于新奇检测(novelty detection)[3]与数据降噪[4]等。

参考文献

  1. ^ Schölkopf, Bernhard. Nonlinear Component Analysis as a Kernel Eigenvalue Problem. Neural Computation. 1998, 10: 1299–1319. doi:10.1162/089976698300017467. 
  2. ^ 2.0 2.1 Nonlinear Component Analysis as a Kernel Eigenvalue Problem (Technical Report) (PDF). [2018-09-15]. (原始内容存档 (PDF)于2020-09-19). 
  3. ^ Kernel PCA for Novelty Detection. Pattern Recognition. 2007, 40: 863–874 [2018-09-15]. doi:10.1016/j.patcog.2006.07.009. (原始内容存档于2020-02-06). 
  4. ^ Kernel PCA and De-Noising in Feature Spaces. NIPS, 1999. [2018-09-15]. (原始内容存档于2010-07-02).