幻方

幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从 $1$ 到 $N^{2}$ 的连续整数组成，其中 $N$ 为正方形的行或列的数目。因此 $N$ 阶幻方有 $N$ 行 $N$ 列，并且所填充的数为从 $1$ 到 $N^{2}$ 。

幻方可以使用 $N$ 阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数 $M_{2}(N)$ ，如果填充数为 $1,2,\dots ,N^{2}$ ，那么有

M_{2}(N)={\frac {N(N^{2}+1)}{2}}

幻方简史

《系辞》云：“河出图，洛出书，圣人则之。”在宋朝之前，洛书的记述只有文字。

九宫图实物最早发现于西汉，1977年中国考古学家在安徽阜阳县双古堆西汉古墓中发现汉文帝七年（前173年）的太乙九宫占盘，乃是中国汉代幻方的实物。东汉《数术记遗》也有记载。

后来陈抟以降认为河图洛书的洛书代表九宫图，为 $1,\dots ,9$ 这 $9$ 个数，而 $3$ 行、 $3$ 列以及两对角线上各自的数之和均为15。

杨辉纵横图

南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。

构造法

根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、 $4k$ 阶幻方和 $4k+2$ 阶幻方，其中 $M$ 为自然数， $2$ 阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。

奇数阶幻方构造法

右斜角降位法1

假设要建构n阶幻方，n为奇数。

先在第一横列中央的方格填入1。
向右上方的格子推进，依次填入2、3、4、…、n²，若超过方阵框外，则将数字填入到该横列或该直行的相对位置。
若右上方的格子已有数字，则将数字填入下面的格子中。

以下图 $5$ 阶幻方为例， $1$ 填写在 $(1,3)$ （第一行第三列）的位置上； $2$ 应当填写在其右上方格即 $(0,4)$ 中，由于 $(0,4)$ 超出顶边界，所以从最底行进入，即 $(5,4)$ ； $3$ 填写在 $(5,4)$ 的右上方格 $(4,5)$ 中； $4$ 填写在 $(4,5)$ 的右上方格 $(3,6)$ 中，由于 $(3,6)$ 超出右边界，所以从最左列进入，即 $(3,1)$ ； $5$ 填写在 $(3,1)$ 的右上方格 $(2,2)$ 中； $6$ 应该填写的方格 $(1,3)$ 已经被 $1$ 所占据，因此填写在 $(2,2)$ 的正下方格 $(3,2)$ 中；按照上面的步骤直到所有数填入。

${\begin{bmatrix}8&1&6\\3&5&7\\4&9&2\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}17&24&1&8&15\\23&5&7&14&16\\4&6&13&20&22\\10&12&19&21&3\\11&18&25&2&9\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}47&58&69&80&1&12&23&34&45\\57&68&79&9&11&22&33&44&46\\67&78&8&10&21&32&43&54&56\\77&7&18&20&31&42&53&55&66\\6&17&19&30&41&52&63&65&76\\16&27&29&40&51&62&64&75&5\\26&28&39&50&61&72&74&4&15\\36&38&49&60&71&73&3&14&25\\37&48&59&70&81&2&13&24&35\end{bmatrix}}$
$3$ 阶	$5$ 阶	$9$ 阶

魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：

{\begin{bmatrix}15&6&19&2&23\\16&12&25&8&4\\9&5&13&21&17\\22&18&1&14&10\\3&24&7&20&11\end{bmatrix}}

5

阶

右斜角降位法2

假设要建构n阶幻方，n为奇数。

先在第一横列中央的方格填入1。
向“右(n-1)/2格、上(n-1)/2格”的格子推进，依次填入2、3、4、…、n²，若超过方阵框外，则将数字填入到该横列或该直行的相对位置。
若右上方的格子已有数字，则将数字填入下面的格子中。

右斜角升位法

假设要建构n阶幻方，n为奇数。

先在中央格的正上方一格的方格填入1。
向右上方的格子推进，依次填入2、3、4、…、n²，若超过方阵框外，则将数字填入到该横列或该直行的相对位置。
若右上方的格子已有数字，则将数字填入上面两格的格子中。

菱形法

假设要建构n阶幻方，n为奇数。

先以对角线为两边，做一个包含n阶方阵的菱形方阵，此方阵总共有2n²-2n+1（第n个中心正方形数）个格子。
从这个菱形方阵中的最上方的尖端格子，由左上往右下，再由右上往左下，依次填入1、2、3、4、…、n²。
将原先方阵上侧外的格子向下平行移动n格，填入原方阵的空格处，相同的步骤，若格子是在下侧，往上移，若格子是在左侧，往右移，若格子是在右侧，往左移。

偶数阶幻方构造法

$4k$ 阶幻方构造法

消去对角线法

将1、2、3、4、…、n²由上到下、再由左到右，依次填入。
将方阵以四阶方阵为单位分割（可分割成n²个四阶方阵），然后在每个四阶方阵中，对角线上的数字擦掉。
把擦掉的数字由大的数开始，由上到下、再由左到右，依次填入。

保留对角线法

假设要建构n阶幻方，n为4的倍数。

将1、2、3、4、…、n²由上到下、再由左到右，依次填入。
将方阵以四阶方阵为单位分割（可分割成n²个四阶方阵），然后在每个四阶方阵中，不在对角线上的数字擦掉。
把擦掉的数字由大的数开始，由上到下、再由左到右，依次填入。

如4阶幻方的排列法：
${\begin{bmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{bmatrix}}$
按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：
${\begin{bmatrix}1&15&14&4\\12&6&7&9\\8&10&11&5\\13&3&2&16\end{bmatrix}}$
八阶幻方构造如下
$\left[{\begin{array}{cccc|cccc}\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\hline \diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\end{array}}\right]$
即：
${\begin{bmatrix}1&63&62&4&5&59&58&8\\56&10&11&53&52&14&15&49\\48&18&19&45&44&22&23&41\\25&39&38&28&29&35&34&32\\33&31&30&36&37&27&26&40\\24&42&43&21&20&46&47&17\\16&50&51&13&12&54&55&9\\57&7&6&60&61&3&2&64\end{bmatrix}}$

$4k+2$ 阶幻方构造法

LUX法

在(4M+2)×(4M+2）个方格的适当格点上，先排出2M+1阶的幻方。在前M+1行的格点，全部标上“L”；在第M+1行的中间格点标上“U”，其余格点标上“L”；在第M+2行的中间格点标上“L”，其余格点标上“U”；在馀下的M-1行的格点全部标上“X”。将格点上的数乘以4再减4，再按下面的规则加上1至4其中一个数，填入对应的格上：

 4 1    1 4    1 4
  L      U      X
 2 3    2 3    3 2

例子：

[ 68  65  96  93   4   1  32  29  60  57 ]
   17L     24L      1L      8L     15L
[ 66  67  94  95   2   3  30  31  58  59 ]

[ 92  89  20  17  28  25  56  53  64  61 ]
   23L      5L      7L     14L     16L
[ 90  91  18  19  26  27  54  55  62  63 ]

[ 16  13  24  21  49  52  80  77  88  85 ]
    4L      6L     13U     20L     22L
[ 14  15  22  23  50  51  78  79  86  87 ]

[ 37  40  45  48  76  73  81  84  9   12 ]
   10U     12U     19L     21U      3U
[ 38  39  46  47  74  75  82  83  10  11 ]

[ 41  44  69  72  97  100  5  8   33  36 ]
   11X     18X     25X      2X      9X
[ 43  42  71  70  99  98   7  6   35  34 ]

斯特拉奇法

任何阶数的幻方都适用的构造法

艾歆缇雅法

此方法可用来建构任何阶数的幻方，当要建构n阶幻方时，使用两个方阵，一个填入正整数1到n各n次，另一个则填入0、n、2n、3n、…、(n-1)*n各n次，尽管奇数阶幻方与偶数阶幻方的填入方式有所不同。

对于奇数阶幻方：

第一个方阵：在第一横列中央的方格填入1，并且往左下角不断填入1，若超出方阵外，则向右平移n格，直到每一横列都有一个方格填入1为止，再把所有填入1的方格右边的格子填入2（若超出方阵外，则向左平移n格），再把所有填入2的方格右边的格子填入3，一直到填入n为止。

第二个方阵：在第一直行中央的方格填入0，并且往右下角不断填入1，若超出方阵外，则向上平移n格，直到每一直行都有一个方格填入0为止，再把所有填入0的方格右边的格子填入n（若超出方阵外，则向上平移n格）。再把所有填入n的方格右边的格子填入2n，一直到填入(n-1)*n为止。

再把两个方阵中的数相加。

事实上，你可以将这两个方阵中的每一个相同数字都替换为另一个数字，只要这两个方阵中原本有出现的n个数字都仍然各出现n次即可，唯一的条件是第一个方阵中(n+1)/2这个数字，以及第二个方阵中(n-1)*n/2这个数字，不能被替换。

对于偶数阶幻方：

第一个方阵：第一直行由上到下依次填入1到n，第二直行由下到上依次填入1到n，第三直行与第二直行相同，第四直行与第一直行相同，若超过四直行，则重复第一到第四直行的步骤。

第二个方阵：第一横列由上到下依次填入0到n*(n-1)，第二横列由下到上依次填入0到n*(n-1)，第三横列与第二横列相同，第四横列与第一横列相同，若超过四横列，则重复第一到第四横列的步骤。

此方法暂时只适用于4k阶的幻方。

事实上，你可以将这两个方阵中的每一个相同数字都替换为另一个数字，只要这两个方阵中原本有出现的n个数字都仍然各出现n次即可，唯一的条件是第一个方阵中每个直行相对的两个数字之和必须是n+1，以及第二个方阵中每个横列相对的两个数字之和必须是n*(n-1)。

如果是4k+2阶的幻方，就必须在第二个方阵中，检查每个直行相对的两个数字之和为n*(n-1)的格子，对于这些格子，第一个方阵的对应格子。

加边法

当n为大于等于5的正整数时，此方法可由n-2阶幻方外围加上一圈来构造n阶幻方。

以 $6$ 阶为例子，先排出 $4$ 阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上 $8m+2=10$ ，有下图：
${\begin{bmatrix}11&25&24&14\\22&16&17&19\\18&20&21&15\\23&13&12&26\end{bmatrix}}$

在外围加上一圈格子，把 $1,2,3,\dots ,8m+2$ 和 $16m^{2}+8m+3,16m^{2}+8m+4,\dots ,(4m+2)^{2}$ 这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于 $16m(m+1)+5$ 。对于 $m=1$ 这些数是： $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ ； $27,28,29,30,31,32,33,34,35,36$ 。
结果如下：
${\begin{bmatrix}1&9&34&33&32&2\\6&11&25&24&14&31\\10&22&16&17&19&27\\30&18&20&21&15&7\\29&23&13&12&26&8\\35&28&3&4&5&36\end{bmatrix}}$

方阵合成法

当n可以分解成两个大于等于3的正整数a与b的乘积时，此方法可由a阶幻方与b阶幻方来构造n阶幻方。

以a(k)表示a阶幻方中的每一个数字加上k*a²的结果，则所有的a(k)都是幻方，且a(0)=原本的a阶幻方。
将b阶幻方中的数字k都用幻方a(k-1)取代。

编程语言参考实现

四阶幻方全解搜索(C/C++)^[1]^{[需要较佳来源]}

#include<stdio.h>
int a[17],b[17],m;
void s(int i)
{  /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/
    int n=0,j=0;
    while(++j<17)
        if(!a[j])
        {
            a[b[i]=j]=1;
            switch(i)
            {
                case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;
                case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;
                case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;
                case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;
                case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);
             }
             a[j]=0;
        }
}
int main(void)
{
    s(1);
    printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);
    return 0;
}

奇数阶幻方算法的Java语言实现

/**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用於創建奇數階的幻方
*/

public class magic_squre_odd {
       static int[][]  matrix;
       static int   n;
       public static void magic_squre_odd_generate()
       { matrix = new int[n][n];
         //所有的數初始化為0

         matrix[0][(n-1)/2] = 1;
         int x = 0,y = (n-1)/2;

         //count:記住已經插入過的數
          for(int count = 2; count<=n*n;count++)
          while(true)
          {
          //先x-1 y+1
        	  x--;
        	  y++;

        	  //判斷是否可以插入
          	  while(true)
                 {//循環判斷是否越界，直到一個地方不越界為止
                    //判斷是否越界：
                    //越上界x<0，則移到最下方x=x+n，y不變; continue
                   if(x<0)
                   {
                   	x += n;
                   	continue;
                   }

                   //越右界y>=n，則y=y-n，x不變;continue
                   if(y>=n)
                   {
                   	y -= n;
                   	continue;
                   }

        	    //循環判斷是否該位置已經有數據，直到找到一個空位
                      //如果有數據，則移到x = x + 2;y = y - 1; continue
                   if (y<0){y+=n;continue;}
                   if(matrix[x][y] != 0 )
                   {
                   	x += 2;y -= 1;
                   	if (x>=n){x-=n;continue;}
                   	if (y<0){y+=n;continue;}
                   	continue;
                   }
                   break;
                 }

                 //將當前的count值賦給選出的空位
                      matrix[x][y]= count;
                      break;
         }
       }

       public static void print()
       {
        	for(int i = 0; i < n; i++)
        	{
        		for(int j = 0; j < n; j++)
        	    {
        			//System.out.println(matrix[i][j]);
        			System.out.print(matrix[i][j]);
        			System.out.print("_");
        	    }
        		System.out.println();
        	}
       }

       public  static void main(String[] args)
       {   //手工輸入n的值，並確保為奇數
             n = 11;
           magic_squre_odd_generate();
           print();
       }
}

以下是本算法將n設置為11時得出的11階幻方的構造結果：

68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66
80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67
92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79
104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91
116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103
7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115
19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6
31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18
43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30
55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42
56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54

$4$ 阶幻方算法的Java语言实现

 /**
 * @author: contribute to wikipedia according GNU
 * @description:用於創建4階的幻方
 *
 */

 public class magic_square_4m {

 	/**
 	 * @param args
 	 */
 	static int  matrix[][];
 	static int   n;

 	static void magic_squre_4m_generate()
 	{
 	  //初始化matrix
 		matrix = new int[n][n];

 	  //將matrix裡的位置用數順序排列
 	  int ini = 0;
 	  for(int i = 0; i < n; i++)
 		  for(int j = 0; j < n; j++)
 			  matrix[i][j] = ++ini;
 		
 	  //輸出對調前的樣子
 	  System.out.println("對調之前的樣子：");
 	  print();
 	
 	  //然後對調（僅對右上方的數進行遍歷）
 	  for(int i = 0; i < n; i++)
 	      for(int j = i + 1; j < n; j++)
 	      {
 	    	  if(( i != j) && (i + j) != (n -1) )
 	    	  {   //對不在主付對角線上的數關於中心對調
 	    		  int temp;
 	    		  temp = matrix[i][j];
 	    		  matrix[i][j] = matrix[n -1 - i][n - 1 - j];
 	    		  matrix[n -1 - i][n - 1 - j] = temp;
 	    	  }
 		  }
 	}
 	
 	public static void print()
 	{
 		for(int i = 0; i < n; i++)
 		{
 			for(int j = 0; j < n; j++)
 		    {
 				System.out.print(matrix[i][j]);
 				System.out.print("_");
 		    }
 			System.out.print("\n");
 		}
 	}
 	
 	public static void main(String[] args) {
         //這裡手動設置n的數值為4，這裡只能設置為4，因為只求4階幻方	
 		n = 4;
 		magic_squre_4m_generate();
 		System.out.println("對調之後的樣子：");
 		print();
 	}
 }

以下是本算法輸出的結果：

對調之前的樣子：
1_2_3_4_
5_6_7_8_
9_10_11_12_
13_14_15_16_
對調之後的樣子：
1_15_14_4_
12_6_7_9_
8_10_11_5_
13_3_2_16_

研究价值

知名华人数学家陈省身曾在数学演讲中说幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起更普遍深刻的影响，不属于“好的数学”。^[2]

对幻方的学习和研究一直局限于趣味数学本身，更接近数字游戏或文字游戏，缺乏与主流数学的联系(和璇玑图在中国诗歌中的地位有一些相似)。数学和物理中也有具有更多学术价值的特殊数字方阵，如推动了试验设计研究的拉丁方阵和已有应用的阿达玛矩阵，还有在量子力学中有重要价值的泡利矩阵及其推广版本盖尔曼矩阵。魔术方块则可以与群论建立联系(见魔方群)，可以作为抽象代数的入门教具，也是计算群论的研究案例之一，并非单纯的几何玩具。高性能的计算机诞生后，幻方、幻星、素数环(prime ring problem)等很多这类需要满足特殊规律的填数问题，只要所需的数字规模不大，都可以考虑通过深度优先搜索算法暴力求解和枚举。

艺术与流行文化

德国画家与雕刻家阿尔布雷希特·丢勒曾在一幅名作《忧郁》(Melencolia I)的角落中画下一个幻方。这个著名的幻方图也被知名工程数学软件MATLAB加入自己的帮助文档中。^{[来源请求]}

参见

参考资料

引用

^ "所有四阶幻方". [2017-01-11]. （原始内容存档于2017-01-13）（中文（中国大陆））.
^ 黄且圆. 陈省身：如何做“好的数学”. 2015年3月2日 [2019年9月29日]. （原始内容存档于2019年9月29日）（中文（中国大陆））. 可惜幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起其他更普遍深刻的影响。相反地，另外一个奇迹，所有的圆、圆的周长和它的直径之比都是一个不变的数，数学上称之为圆周率，记作。这个结果可重要了，因为这个数渗透了整个数学！...幻方只是一个偶然现象，虽很巧妙，但不属于好的数学。 |journal=被忽略 (帮助)

延伸阅读

高治源. 九宫图探秘. 香港天马图书有限公司. 2004 （中文（香港））.
张道鑫. 素数幻方. 香港天马图书有限公司. 2003 （中文（香港））.
李杭强. 趣味数学幻方. 香港天马图书有限公司. 2002 （中文（香港））.
林正禄. 开拓智力的奇方——幻方. 香港天马图书有限公司. 2001 （中文（香港））.

外部链接

[1] "所有四阶幻方". [2017-01-11]. （原始内容存档于2017-01-13）（中文（中国大陆））.

[2] 黄且圆. 陈省身：如何做“好的数学”. 2015年3月2日 [2019年9月29日]. （原始内容存档于2019年9月29日）（中文（中国大陆））. 可惜幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起其他更普遍深刻的影响。相反地，另外一个奇迹，所有的圆、圆的周长和它的直径之比都是一个不变的数，数学上称之为圆周率，记作。这个结果可重要了，因为这个数渗透了整个数学！...幻方只是一个偶然现象，虽很巧妙，但不属于好的数学。 |journal=被忽略 (帮助)

[1]

[2]

幻方

幻方简史

杨辉纵横图

构造法

奇数阶幻方构造法

右斜角降位法1

右斜角降位法2

右斜角升位法

菱形法

偶数阶幻方构造法

消去对角线法

保留对角线法

LUX法

斯特拉奇法

任何阶数的幻方都适用的构造法

艾歆缇雅法

加边法

方阵合成法

编程语言参考实现

四阶幻方全解搜索(C/C++)[1][需要较佳来源]

奇数阶幻方算法的Java语言实现

研究价值

艺术与流行文化

参见

参考资料

引用

延伸阅读

外部链接

四阶幻方全解搜索(C/C++)^[1]^{[需要较佳来源]}