多面体群
群
多面体群共三个：
- 12阶四面体群，正四面体的旋转对称群。它与A4同构。
- T的共轭类是：
- 恒等
- 4 × 旋转 120°，3阶，顺时针
- 4 × 旋转 120°，3阶，逆时针
- 3 × 旋转 180°，2阶
- T的共轭类是：
- 24阶八面体群，立方体和正八面体的旋转对称群。它与S4同构。
- O的共轭类是：
- 恒等
- 6 × 围绕顶点旋转 ±90°，4阶
- 8 × 围绕三角形中心旋转 ±120°，3阶
- 3 × 围绕顶点旋转 180°，2阶
- 6 × 围绕边缘中点旋转 180°，2阶
- O的共轭类是：
- 60阶二十面体群，正十二面体和正二十面体的旋转对称群。它与A5同构。
- I的共轭类是：
- 恒等
- 12 × 旋转 ±72°，5阶
- 12 × 旋转 ±144°，5阶
- 20 × 旋转 ±120°，3阶
- 15 × 旋转 180°，2阶
- I的共轭类是：
对于全反射群，以上的对称性加倍，分别为24、48、120阶，分别有6、9 和15 个反射镜面。八面体对称群[4,3]可以看作是四面体对称群 [3,3] 的6个反射镜面和二面体群Dih2[2,2] 的3个反射镜面的并集。五角十二面体对称性是四面体对称性的另一种加倍。
完全四面体对称的共轭类Td≅S4是：
- 恒等
- 8 × 旋转 120°
- 3 × 旋转 180°
- 6 × 通过两个旋转轴在平面内进行反映
- 6 × 旋转-反映 90°
五角十二面体对称性Th的共轭类包括T的共轭类，其中两个4阶类组合在一起，并且每个类都具有反演：
- 恒等
- 8 × 旋转 120°
- 3 × 旋转 180°
- 反演
- 8 × 旋转-反映 60°
- 3 × 平面反映
- 反演
- 6 × 旋转-反映 90°
- 8 × 旋转-反映 60°
- 垂直于 4 次轴的平面中的 3 × 反射
- 垂直于 2 次轴的平面中的 6 × 反射
完全二十面体对称 Ih ≅ A5 × C2的共轭类 ，还包括每个具有反演的：
- 反演
- 12 × 旋转-反映 108°， 10阶
- 12 × 旋转-反映 36°，10阶
- 20 × 旋转-反映 60°，6阶
- 15 × 旋转-反映，2 阶
手性多面体群
名称/熊夫利斯（Schönflies）记号 （轨型符号 ) |
考克斯特符号 | 阶 | 抽象结构 | 旋转轴 #度 |
图表 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正交 | 立体 | |||||||||||
| T(332) |   [3,3]+
|
12 | A4 | 43  32
|
|
|
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| ||||
| Th (3*2) |
   [4,3+]
|
24 | A4 ×2 | 43 3*2
|
|
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| ||||
| O (432) |
[4,3]+
|
24 | S4 | 34 43 62
|
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| ||||
| I (532) |
 [5,3]+
|
60 | A5 | 65 103 152
|
|
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| ||||
全多面体群
| 熊夫利斯（Schönflies）记号 （轨型符号轨型符号) |
考克斯特符号 | 阶 | 抽象 结构 |
考克斯特数字（H） | 镜面 (h) |
镜像图 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 正交 | 立体 | ||||||||||
| A3 Td (*332) |
 [3,3] |
24 | S4 | 4 | 6
|
|
|
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| ||
| B3 Oh (*432) |
[4,3] |
48 | S4 ×2 | 8 | 3 6
|
|
|
|
| ||
| H3 Ih (*532) |
[5,3] |
120 | 5 ×2 | 10 | 15
|
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| ||
参见
参考文献
- Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, 1973. (The Polyhedral Groups. §3.5, pp. 46–47)