代数独立

抽象代数里,一个子集若被称做代数独立于一子体的话,表示内的元素都不符合系数包含在内的非平凡多项式。这表示任何以内元素排成的有限序列(没有两个是一样的)和任一系数包含在的非零多项式,都会得到:

特别的是,单元素集合若是代数独立于的话,若且唯若会是内的超越数超越函数。一般而言,和于代数独立集合的所有元素也必然会是内的超越数或超越函数,但反之则不必然。

举例来说,实数的子集代数独立于有理数,当存在一非零多项式:

代入代入时会变成

林德曼-魏尔斯特拉斯定理时常用做证明某些函数会代数独立于有理数:当线性独立于有理数的代数数时,便会代数独立于有理数。

现在依然没有证明出集合是否代数独立于有理数。Nesterenko英语Yuri Valentinovich Nesterenko在1996年证明了是代数独立于有理数的。

给定一体扩张,我们可以利用佐恩引理来证明总是存在一的最大代数独立子集于。甚至,所有个最大代数独立子集都会有相同的基数,称之为此一体扩张的超越次数