二年级之梦

二年级之梦(sophomore's dream)是约翰·白努利于1697年发现的两条有趣的数学恒等式



名称来自于与之相对的一年级之梦,也就是“ (x + y)n = xn + yn ”。两个都带有数学吓人的简单表达方式,然而一年级之梦为错误的方程式,因为只要将 带入就会发现无法形成等式;但是二年级之梦却是正确的式子。

证明

 
在座标上,两公式的关系。

第一条公式,首先利用对数转换和积分与级数顺序变化[1]

  • 对数转换  
  • 指数函数泰勒展开式  


得到  

在上式中我们利用了幂级数均匀收敛性,以交换求和运算及积分运算

 

 


再设  

 


根据Γ函数 


最终推得   若则积函数为 ,则可用同法推得 

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参考

  1. ^ BriTheMathGuy. The Integral of your Dreams (or Nightmares). YouTube. [2022-07-21]. (原始内容存档于2022-07-22). 页面存档备份,存于互联网档案馆