乘法原理

乘法原理是组合计数的基本计数原理。简而言之，“若有$a$种方法做某事，$b$种方法做另一事，则合共有$a\cdot b$种方法做此两件事。”

集合$\{A,B\}$之元素，与集合$\{1,2,3\}$的元素可以组成$6$种不同组合。

举例

设在港式粉面店要点一碗汤粉面，主食有三种：粗面、幼面、河粉，要选恰好一款；而配料有两种选择：云吞、牛腩，亦要选恰好一款。问可选配搭数为何。

使用乘法原理，答案是$3\times 2=6$，总共有六种配搭。

抽象一点，考虑从$A,B,C$三件物件选一，再从$X,Y$两件物件选一。使用乘法原理，可知总共有$3\times 2=6$种选法。本例中，可以穷举所有可能性验证：可选的组合有$AX,AY,BX,BY,CX,CY$，共六种。

上述例子中，集合$\{A,B,C\}$和$\{X,Y\}$不交，即两次选择中，没有选项重复出现，但这并非必要，乘法原理即使两次选择的选项有相同，仍然成立。从$\{A,B,C\}$选一个元素，然后再选一次，效果等同选取了一个有序对，其两个分量都在$\{A,B,C\}$中，选法的总数为$3\times 3=9$。

应用

集合论中，乘法原理可以视为基数乘积的定义。对于集合$S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}$，以$|S_{i}|$表示$S_{i}$的元素个数（基数），则有

$|S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|,$

其中$\times$表示笛卡儿积。$S_{i}$可以是无穷集，甚至可以考虑无穷多个集合的乘积，参见基数和选择公理。

参见

• 加法原理是另一个基本计数原理。简而言之，“若有$a$种方法做某事，$b$种方法做另一事，但只能选其一，则合共有$a+b$种选择。”
• 其他组合技巧