三重积

三重积，又称混合积，是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积。

标量三重积

定义

标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积，其结果是个赝标量。

设 $\mathbf {a}$ 、 $\mathbf {b}$ 、 $\mathbf {c}$ 为三个向量，则标量三重积的定义为

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )

。

特性

设 $\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k}$ 、 $\mathbf {b} =b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k}$ 、 $\mathbf {c} =c_{1}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +c_{3}\mathbf {k}$ ，则有

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}

。

证明

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )

${\begin{aligned}&=(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\cdot {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}\\&=(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\cdot (\mathbf {i} {\begin{vmatrix}\ b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}-\mathbf {j} {\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\\\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\\\end{vmatrix}})\\&=a_{1}{\begin{vmatrix}\ b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}-a_{2}{\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\\\end{vmatrix}}+a_{3}{\begin{vmatrix}\ b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\\\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

利用行列式的特性，可知顺序置换向量的位置不影响标量三重积的值：

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )

任意对换两个向量的位置，标量三重积与原来相差一个负号：

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {c} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )

若任意两个向量相等，则标量三重积等于零：

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {a} )=\mathbf {b} \cdot \mathbf {0} =0

其他记号

有时候，纯量三重积会以括号表示：

[\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} ]=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c}

几何意义

几何上，由三个向量定义的平行六面体，其体积等于三个标量标量三重积的绝对值：

V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=\left|{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}\right|

证明

用向量来定义平行六面体。

以 $\mathbf {b}$ 和 $\mathbf {c}$ 来表示底面的边，则根据叉积的定义，底面的面积 $A$ 为

A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |

，

其中 $\theta$ 是 $\mathbf {b}$ 与 $\mathbf {c}$ 之间的角，而高 $h$ 为

h=|\mathbf {a} |\cos \alpha

，

其中 $\alpha$ 是 $\mathbf {a}$ 与 $h$ 之间的角。

从图中我们可以看到， $\alpha$ 的大小限定为 $0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }$ 。而向量 $\mathbf {b} \times \mathbf {c}$ 与 $\mathbf {a}$ 之间的角 $\phi$ 则有可能大于90°（ $0^{\circ }\leq \phi <180^{\circ }$ ）。也就是说，由于 $\mathbf {b} \times \mathbf {c}$ 与 $h$ 平行， $\phi$ 的值要么等于 $\alpha$ ，要么等于 $180^{\circ }-\alpha$ 。因此