余因子矩阵

线性代数中,余因子是一种关于方阵之逆及其行列式的建构,余因子矩阵的项是带适当符号的子行列式

线性代数
向量 · 向量空间 · 基底  · 行列式  · 矩阵

定义

对一个   矩阵  ,在  子行列式余子式  定义为删掉   的第 i 横行与第 j 纵列后得到的行列式。令  ,称为   余因子代数余子式)。矩阵   称作  余因子矩阵余子矩阵)。余因子矩阵的转置称为伴随矩阵,记为  

范例

考虑三阶方阵

 

今将计算余因子  。子行列式   是下述矩阵(在   中去掉第 2 横行与第 3 纵列)之行列式:

 

根据定义得到

 
 
 

余因子分解

对一   矩阵:

 

其行列式   可以用余因子表示:

 
(对第 j 纵行的余因子分解)
 
(对第 i 横列的余因子分解)

古典伴随矩阵

“古典伴随矩阵”(classical adjoint matrix) 是余因子矩阵的“转置矩阵”,它与逆矩阵的计算有极大的关系。

 


将余因子矩阵

 

转置之后,会得到“古典伴随矩阵”:

 

克莱姆法则

克莱姆法则可以用余因子写成下述简炼的形式:

 

  时,  的逆矩阵由下式给出:

 

此即线性方程组理论中的克莱姆法则。

文献

  • Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8

外部链接