零一律

零一律是概率论中的一条定理。它是安德雷·柯尔莫哥洛夫发现的，因此有时也叫柯尔莫哥洛夫零一律。其内容是：尾事件发生的概率只能是一（几乎肯定发生）或零（几乎肯定不发生）。

尾事件以随机变量的无穷序列定义。假设

$X_{1},X_{2},X_{3},\dots \,$

是无穷多个的独立的随机变量（不一定有同样的分布）。 记 ${\mathcal {F}}$ 为 $X_{i}$ 生成的 σ-代数，则一个尾事件 $F\in {\mathcal {F}}$ 就是与任意有限多个这些随机变量都独立的事件。（注意： $F$ 属于 ${\mathcal {F}}$ ，意味着事件 $F$ 发生或不发生由 $X_{i}$ 的值确定，但此条件不足以证明零一律。）

比如，序列$(X_{i})$ 收敛便是一个尾事件。此外，级数

$\sum _{k=1}^{\infty }X_{k}$

收敛也是一个尾事件。级数收敛且大于1的事件并不是尾事件，因为它不是与X₁的值无关。假如扔无穷多次硬币，则连续100次数字面向上的事件出现无限多次是一个尾事件。

直观地看，若可以无视前任意多个 $X_{i}$ 的值，而仍能判断某事件是否发生，则该事件为尾事件。

许多时候，运用零一律很易证得某事件的概率必为 0 或 1，但却很难判断两者之中，何者为其真正的概率。

无限猴子定理是零一律的一个例子。

定理叙述

柯尔莫哥洛夫零一律更一般的论述对独立的 σ代数序列适用。令 (Ω, F ,P ) 是一个概率空间，F_n 为包含于 F 的一列相互独立的 σ-代数。 令

$G_{n}=\sigma {\bigg (}\bigcup _{k=n}^{\infty }F_{k}{\bigg )}$

是包含F_n, F_n+1, …的最小的 σ-代数。那么柯尔莫哥洛夫零一律断言对任意的事件

$F\in \bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}$

都有 P (F ) = 0 或 1。

把以上的 F_n 取为由随机变量 X_n 生成的 σ-代数，就得到定理对随机变量的叙述。此时，尾事件定义为既在由所有的 X_n 生成的 σ-代数中可测，也与任意有限多个 X_n 都独立的事件。换言之，尾事件是属于 $\textstyle {\bigcap _{n=1}^{\infty }G_{n}}$ 的事件。

相关条目

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• 休伊特-萨维奇零一律
• 李维零一律 (英语：Lévy's zero–one law)
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• 尾风险

参考资料

• Stroock, Daniel. Probability theory: An analytic view revised. Cambridge University Press. 1999. ISBN 978-0-521-66349-6. .
• Brzezniak, Zdzislaw; Zastawniak, Thomasz. Basic Stochastic Processes. Springer. 2000. ISBN 3-540-76175-6. 
• Rosenthal, Jeffrey S. A first look at rigorous probability theory. Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2006: 37. ISBN 978-981-270-371-2.