谐振子

本文描述的是经典力学中的谐振子。量子力学中的谐振子请见量子谐振子与量子阻尼谐振子。

经典力学中，一个谐振子（英语：harmonic oscillator）乃一个系统，当其从平衡位置位移，会感受到一个恢复力$F$正比于位移$x$，并遵守胡克定律：

一个无阻尼弹簧 - 质量体系统构成一个简谐振子。

$F=-kx\,$

其中$k$是一个正值常数。

如果$F$是系统仅受的力，则系统称作简谐振子（简单和谐振子）。而其进行简谐运动——正中央为平衡点的正弦或余弦的振动，且振幅与频率都是常数（频率跟振幅无关）。

若同时存在一摩擦力正比于速度，则会存在阻尼现象，称这谐振子为阻尼振子。在这样的情形，振动频率小于无阻尼情形，且振幅随着时间减小。

若同时存在跟时间相关的外力，谐振子则称作是受驱振子。

力学上的例子包括了单摆（限于小角度位移之近似）、连接到弹簧的质量体，以及声学系统。其他的相类系统包括了电学谐振子（electrical harmonic oscillator，参见RLC电路）。

简谐振子

简谐振子没有驱动力，也没有摩擦（阻尼），所以合力单纯为：

$F=-kx\,$

利用牛顿第二定律

$F=ma=-kx\,$

则加速度$a$等于是$x$的二次微分导数：

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx$

若定义${\omega _{0}}^{2}=k/m$，则方程可以写为如下：

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0$

可以观察到：

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}$

然后代回原式得到

${\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x=0$

$\mathrm {d} {\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x\cdot \mathrm {d} x=0$

积分可得

${\dot {x}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}x^{2}=K$

其中K是积分常数，设K = (A ω₀)²

${\dot {x}}^{2}=A^{2}{\omega _{0}}^{2}-{\omega _{0}}^{2}x^{2}$

${\dot {x}}=\pm {\omega _{0}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}={\omega _{0}}\mathrm {d} t$

经过积分，结果（包括积分常数φ）为

${\begin{cases}\arcsin {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \\\arccos {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \end{cases}}$

并有一般解

$x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,$

其中振幅$A\,$以及相位$\phi \,$可透过初始条件来决定。

另外也可以将一般解写成

$x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,$

其中$\phi \,$的值与前面形式相比，偏移了$\pi /2\,$；

又可以写作

$x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,$

其中$A\,$与$B\,$为透过初始条件决定的常数，以替代前面形式的$A\,$与$\phi \,$。

振动频率则为

$f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}$

动能为

$T={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )$.

以及势能（势能）为

$U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )$

所以系统总能为定值：

$E={\frac {1}{2}}kA^{2}$

受驱谐振子

一受驱谐振子满足如下非齐次（nonhomogeneous）二阶线性微分方程

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)$，

其中$A_{0}$是驱动振幅而$\omega$是驱动频率，针对的是一弦波式的驱动机制。这样的系统出现在交流LC（电感L-电容C）电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部的空气阻力）。

阻尼谐振子

一阻尼谐振子满足如下二阶微分方程

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=0$，

其中$b$是由实验决定的阻尼常数，满足关系式$F=-bv$。遵守此方程的系统，其中一例为置于水中的加权弹簧（weighted spring），若假设水所施的阻尼力与速度$v$呈线性比例关系。

阻尼谐振子的频率为

$\omega _{1}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-R_{m}^{2}}}$

其中

$R_{m}={\frac {b}{2m}}$。

受驱阻尼振子

受驱阻尼振子满足方程

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+r{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)$。

其一般解为两个解的和，一为暂态解（无驱动阻尼谐振子之齐次常微分方程的解），与初始条件相关；另一为稳态解（非齐次常微分方程之特殊解），与初始条件无关，只与驱动频率、驱动力、阻尼力有关。

稳态解为

$x(t)={\frac {F_{0}}{Z_{m}\omega }}\sin(\omega t-\phi )$

其中

$Z_{m}={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}}}$

为阻抗（impedance）或线性响应函数（linear response function）之绝对值

$Z=r+i\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)$

而

$\phi =\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega }}}{r}}\right)$

为相对于驱动力（相位定为0）的振动相位。

可以观察到，当在某特定驱动频率$\omega$时，振子振动之振幅（相对于一给定之$F_{0}$）达到最大。这发生在频率为

${\omega }_{r}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-2\left({\frac {r}{2m}}\right)^{2}}}$

之时，而此现象称之为（位移上的）共振。

总结来说，在稳态时，振动频率等同于驱动力的频率，但振动与驱动力在相位上有偏移；且振幅大小与驱动频率相关，当驱动频率与振动系统偏好（共振）频率相同时，振幅达到最大。

例子：RLC电路；电阻类比于阻尼。

完整数学描述

多数谐振子，至少近似上地说，是在解以下的微分方程：

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)$

其中t是时间，b是阻尼常数，ω_o是本征角频率，而A_ocos(ωt)代表驱动系统的某种事物，其振幅A_o而角频率ω。x是进行振荡的被测量量；可以是位置、电流或其他任何可能的物理量。角频率与频率f有关，关系式为

$f={\frac {\omega }{2\pi }}$。

重要项

• 振幅：偏离平衡点的最大的位移量。
• 周期：系统完成一个振荡循环所需的时间，为频率的倒数。
• 频率：单位时间内系统执行的循环总数量（通常以赫兹 = 1/秒为量度）。
• 角频率：$\omega =2\pi f$
• 相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为$\pi$）。
• 初始条件：t = 0时系统的状态。