祖暅原理

数学原理

gèng原理,又名等幂等积定理[1],是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体,其体积也必然相等的定理。祖暅之《缀术》有云:“缘幂势既同,则积不容异[2]。”

该原理最早由中国古代数学家刘徽提出[1]南北朝祖冲之儿子祖暅再次提出[3],两父子用这原理求出牟合方盖体积,进而算出体积。17世纪欧洲意大利数学家卡瓦列里亦发现相同定理,所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理[3][4]

在现代的解析几何测度应用中,祖暅原理是富比尼定理的一个特例。卡瓦列里没有对这条的严谨证明,只发表在1635年的Geometria indivisibilibus以及1647年的Exercitationes Geometricae,用以证明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以计算某些立体的体积,甚至超越了阿基米德开普勒的成绩。这定理引发了以面积计算体积的方法并成了积分发展的重要一步。

简单应用

圆柱体

 
圆柱体

如果垂直转轴切开圆柱体,设r为半径,可得到横切面积为 的圆。根据祖暅原理,圆柱体积相等于底面积相等于圆面积 、高h的长方体,所以半径r和高h的圆柱体积是 

半球体

 
垂直(上)以及水平(下)切开半球体和对照立体

从其中一层以垂直表面的高h横切半径为r的半球体,根据勾股定理,半径为

 

所以横切面积是

 

对照立体是个有与半球体相同横切面积和高的立体,中间有一圆锥体。高h的对照立体环形切面有内圆周h及外圆周r,其面积为

 

因此两个立体都满足祖暅原理并有相同体积。对照立体的体积就是圆柱体和圆锥体体积之差,所以

 

成功利用这条有名的方程计出半球体积,从而导出球体积公式。

微积分

 
两条方程积分后的差与两条方程式之差的积分

祖暅原理背后概念常在微积分出现。作为维度的一个例子,因此两条方程在两交点间的面积可用以下方程获得:

 

实质上表示了函数f和g间的 面积与函数图形 下的 相同,而后者的交点距离与前者相等。由于现代数学的积分和面积的互相关系,而体积可以微分计算,使祖暅原理变得更少用。

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 王树禾. 《数学演义》. 科学出版社. : P34. ISBN 9787030218377. 
  2. ^ 高红成,王瑞《祖暅原理的形成及其现实教育意义》 出自《商洛师范专科学校学报》2001年04期
  3. ^ 3.0 3.1 王树禾. 《数学演义》. 科学出版社. : P36. ISBN 9787030218377. 
  4. ^ 存档副本. [2007-04-22]. (原始内容存档于2007-09-27).  已忽略未知参数|deadurˇl= (帮助)