小角度近似

小角度近似(small-angle approximations)可以在角度以弧度表示,且角度很小的情形下,近似部分三角函数的值:

x → 0时一些三角函数的近似值

上述的近似常用在物理学工程学的各分支学科中,包括力学电磁学光学地图学天文学计算机科学[1][2]。近似的一个理由是可以大幅简化微分方程的计算,可以用在不需要精确解的情形下。

小角度近似可以用许多的方式说明,最直接的是用三角函数的马克劳林级数,依照逼近的阶数英语Order of approximation不同,可以近似为.[3]

理由

绘图

图1和图2可以看出此近似的精度。在角度趋近零时,原始函数和近似函数的差也趋近零。

几何学

 

右图中红色部分d,是斜边长度H和邻边长度A的差。如图所示,HA几乎一样长,意思是cos θ接近1,利用θ2/2可以减去红色的部分

 

其对边O长度近似于蓝色圆弧的长度s。根据几何学,s = ,根据三角函数,sin θ = O/Htan θ = O/A,根据图上OsHA可得:

 

简化后可得

 

微积分

利用夹挤定理[4],可以证明  这是在小角度θ时, 近似式的正式叙述。


比较小心的应用夹挤定理可得  ,因此可以得到在小角度θ时, 

最后,利用洛必达法则可得 可以整理为 ,在小角度θ时成立。也可以用倍角公式 。令 ,可得 

代数

 
正弦函数的小角度近似

将正弦函数进行马克劳林展开(在零附近的泰勒展开)可得[5]

 

其中θ是以弧度表示的角度,上式也可以改写如下:

 

可以看出在θ很小时,第二项(三次方项)会非常小。用θ为0.01为例,第二项的数量级为第一项的 0.0000011/10000。因此可以单纯的近似为:

 

另外,因为小角度的余弦函数接近1,因此正切函数(正弦函数除以余弦函数)可以表示如下

 ,

近似的误差

 
图3:小角度近似的逼近误差

图3是小角度近似的误差,若以误差在1%为准,以下是各近似函数误差超过1%的角度:

  • cos θ ≈ 1,约为 0.1408 弧度 (8.07°)
  • tan θθ,约为 0.1730 弧度 (9.91°)
  • sin θθ,约为 0.2441 弧度 (13.99°)
  • cos θ ≈ 1 − θ2/2,约为 0.6620 弧度 (37.93°)

和角和差角

三角恒等式中的和角公式和差角公式,当其中一个角度很小时(β ≈ 0),可以简化为下式:

cos(α + β) ≈ cos(α) − β sin(α),
cos(αβ) ≈ cos(α) + β sin(α),
sin(α + β) ≈ sin(α) + β cos(α),
sin(αβ) ≈ sin(α) − β cos(α).

应用

天文学

天文学上,天体的角直径多半只有几个角秒,其角度很小,因此可以用小角度近似[6]。线性大小(D)和角直径(X)以及与观察者距离(d)之间有以下的公式:

 

其中X是用角秒表示。

数字206265是圆用角秒表示的值(1296000),除以

精确的公式是

 

tan X改为X,上式也适用。

摆的运动

在计算势能时,二次余弦近似非常的好用,可以应用在拉格朗日力学上,找到运动的间接方程(能量方程)。

在计算摆的频率时,可以用正弦函数的小角度近近,将摆的微分方程转换为简谐运动的微分方程。

光学

在光学上,小角度近似是近轴近似的基础。

波干涉

正弦和正切的小角度近似可以用在双缝实验衍射光栅中,以简化计算[7]

结构力学

小角度近似常用在结构力学上,特别是和稳定性和分岔分析上(主要是轴向受压力的柱,是否会产生挫曲的分析)。这部分简化的程度很大。不过不过用在精确的分析上。

导航

空中导航英语air navigation中的1 in 60 rule英语1 in 60 rule就是以小角度近似为基础,加上一个弧度近似于60度的事实。

内插

小角度的和角和差角公式可以在三角函数表插值

例如:sin(0.755)

sin(0.755) = sin(0.75 + 0.005)
≈ sin(0.75) + (0.005) cos(0.75)
≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317) [sin(0.75)和cos(0.75)的值是由三角函数表求得]
≈ 0.6853.

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参考资料

  1. ^ Holbrow, Charles H.; et al, Modern Introductory Physics 2nd, Springer Science & Business Media: 30–32, 2010 [2021-06-12], ISBN 0387790799, (原始内容存档于2021-08-04). 
  2. ^ Plesha, Michael; et al, Engineering Mechanics: Statics and Dynamics 2nd, McGraw-Hill Higher Education: 12, 2012 [2021-06-12], ISBN 0077570618, (原始内容存档于2021-08-04). 
  3. ^ Small-Angle Approximation | Brilliant Math & Science Wiki. brilliant.org. [2020-07-22]. (原始内容存档于2020-07-22) (美国英语). 
  4. ^ Larson, Ron; et al, Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions 4th, Cengage Learning: 85, 2006 [2021-06-12], ISBN 0618606254, (原始内容存档于2021-08-04). 
  5. ^ Boas, Mary L. Mathematical Methods in the Physical Sciences. Wiley. 2006: 26. ISBN 978-0-471-19826-0. 
  6. ^ Green, Robin M., Spherical Astronomy, Cambridge University Press: 19, 1985 [2021-06-12], ISBN 0521317797, (原始内容存档于2021-08-04). 
  7. ^ 存档副本. [2021-06-12]. (原始内容存档于2021-08-04).