四平方和定理

四平方和定理 (英语:Lagrange's four-square theorem) 说明每个正整数均可表示为4个整数平方和。它是费马多边形数定理华林问题的特例。

历史

 

根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数  能表示为4个整数的平方和,则其乘积 也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

  • 1751年,欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意素数 p,同余方程

  必有一组整数解x,y满足  (引理一)

至此,证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后,拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

证明

根据上面的四平方和恒等式及算术基本定理,可知只需证明素数可以表示成四个整数的平方和即可。

 ,因此只需证明奇素数可以表示成四个整数的平方和。

根据引理一,奇素数 必有正倍数可以表示成四个整数的平方和。在这些倍数中,必存在一个最小的。设该数为 。又从引理一可知 

证明 不会是偶数

 是偶数,且 。由奇偶性可得知必有两个数或四个数的奇偶性相同。不失一般性设 的奇偶性相同, 的奇偶性相同, 均为偶数,可得出公式:

 

 ,与 是最小的正整数使得的假设 可以表示成四个整数的平方和不符。

证明  

现在用反证法证明 。设 

  •  不可整除 的最大公约数,否则 可整除 ,则得  的约数,但 且p为素数,矛盾。

故存在不全为零、绝对值小于 (注意 是奇数在此的重要性)整数的 使得  

 
 

可得  ,其中 是正整数且小于 

  • 下面证明 可以表示成四个整数的平方和,从而推翻假设。

 ,根据四平方和恒等式可知  的倍数,令 

 
 
 

矛盾。

引理一的证明

 的剩余两个一组的分开,可得出 组,分别为 。 将模 二次剩余 个,分别为 

 是模 的二次剩余,选取 使得 ,则 ,定理得证。

 不属于模 的二次剩余,则剩下 组,分别为 ,而模 的二次剩余仍有 个,由于   ,根据抽屉原理,存在