二十二面体

在几何学中，二十二面体（icosidihedron）是指有22个面的多面体，在二十二面体当中没有任何一个形状是正多面体，换言之即正二十二面体并不存在，但仍有许多由正多边形组成的二十二面体，例如正二十角柱。 由于二十二面体拥有比二十面体更多的面，因此在化学的分子结构相关研究中，二十二面体以及其他类似的立体被称为超二十面体（Supraicosahedron），例如在一种含钴的碳硼化合物就具有二十二面体的结构。 此外要构成二十二面体至少要有13个顶点。

二十二面体

部分的二十二面体
	五角台塔柱
侧台塔截角立方体	小十二面半二十面体

在化学中

从正二十面体新增顶点构成的二十二面体

在化学中，二十二面体的分子结构因拥有超过二十个面，因此有时被称为超二十面体（Supraicosahedron）。 由于球状的硼烷结构有一种二十面体硼烷，其性质已经被充分研究，近年来，科学家开始研究面数超过二十面的超二十面体硼烷（supraicosahedral boranes），这种超二十面体硼烷是基于具有多于二十面体的12个顶点的多面体。

CoC₂B₁₀H₁₂结构

最小的超二十面体硼烷，是具有13个顶点的碳硼烷。最小的全部都是三角形面的超二十面体硼烷是加入了钴的碳硼烷（η⁵-C₅H₅)CoC₂B₁₀H₁₂），其具有13个顶点和22个面，是一种二十二面体。

这种二十二面体具有2个分支度为6的顶点，这意味着有原子的化学键数为6，这在多面体硼烷化学中是不利的结构特征。有另一种结构是移除了上述二十二面体其中一个分支度为6的顶点上的其中一条边，这会形成一个由20个三角形面和1个四边形面组成的二十一面体。

常见的二十二面体

常见的二十二面体包含了一些锥体、柱体和一些由锥体与柱体组合并包含22个面形状，亦有一些拓朴结构明显与锥体、柱体不同的二十二面体，例如化学中的二十二面体结构。

均匀多面体

在均匀多面体中有2种立体具有二十二个面，分别为大十二面半二十面体和小十二面半二十面体。

大十二面半二十面体

小十二面半二十面体

约翰逊多面体

在约翰逊多面体中有4种立体具有二十二个面，分别为五角台塔柱、同相双五角台塔、异相双五角台塔和侧台塔截角立方体。

五角台塔柱

同相双五角台塔

异相双五角台塔

侧台塔截角立方体

此外，亦有两种约翰逊多面体的对偶多面体具有二十二个面，分别为对二侧锥正十二面体的对偶多面体和间二侧锥正十二面体的对偶多面体。

二十一角锥

二十一角锥是一种底面为二十一边形的锥体，是二十二面体的一种，其具有22个面、44条边和22个顶点，其对偶多面体是自己本身。正二十二角锥是一种底面为正二十二边形的二十二角锥，在施莱夫利符号中可以用{}∨{22}来表示。底边长为$s$、高为$h$的正二十二角锥体积$V$和表面积$S$为：

$V={\frac {7hs^{2}\cot {\frac {\pi }{21}}}{4}}\approx 11.6105hs^{2}$

$S={\frac {21s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{21}}}}+s\cot {\frac {\pi }{21}}\right)}{2}}\approx 5.25s\left({\sqrt {4h^{2}+44.0175s^{2}}}+6.63457s\right)$

二十角柱

二十角柱是一种底面为二十边形的柱体，是二十二面体的一种，由22个面60条边和40个顶点组成。正二十角柱代表每个面都是正多边形的二十角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个二十边形的公共顶点，顶点图以$4{.}4{.}20$表示，因此具有每个角等角的性质（点可递），可以归类为半正二十二面体，不过他跟其他较接近球形的半正多面体相比之下变得扁很多。

正二十角柱在施莱夫利符号中可以用{20}×{}或t{2,20}来表示，在考克斯特符号中可以用来表示，在威佐夫符号中可以利用2 20 | 2来表示，在康威多面体表示法中可以利用P20来表示。底边长为$s$、高为$h$的正二十角柱体积$V$和表面积$S$为：

$V={\frac {20hs^{2}\cot {\frac {\pi }{20}}}{4}}\approx 31.5688hs^{2}$

$S=20s\left(h+{\frac {s\cot {\frac {\pi }{20}}}{2}}\right)\approx 20s\left(h+3.156876s\right)$

十角反角柱

正十角反角柱

十角反角柱是一种底面为十边形的反角柱，由22个面、40条边和20个顶点组成。正十角反角柱代表每个面都是正多边形的十角反角柱，其每个顶点都是3个三角形和1个十边形的公共顶点，顶点图以$3{.}3{.}3{.}10$表示，在施莱夫利符号中可以用$s\left\{{\begin{matrix}2\\10\end{matrix}}\right\}$来表示。边长为单位长的正十角反角柱体积$V$和表面积$S$为：

$V={\frac {5\left(2-{\frac {1}{{\sqrt {{\frac {\sqrt {5}}{8}}+{\frac {5}{8}}}}+1}}\right)^{3/2}\cot \left({\frac {\pi }{20}}\right)}{6{\sqrt {2}}}}\approx 6.74929$

$S=5\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\approx 24.0487$

参见

• 二十面体