对偶范数

对偶范数数学泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间对偶空间时,常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。

定义

对偶空间

给定一个系数 赋范向量空间(比如说一个巴拿赫空间E(其中 通常是实数 或复数域 ),所有从E 上的连续线性映射(也称为连续线性泛函)的集合称为E的(连续)对偶空间,记作:E' .

对偶范数

可以证明,E′是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数( )是一种自然的范数定义方式,定义为:

 

由于E′中的元素的是连续线性泛函,所以按照以上定义的范数必然存在,是一个有限正实数。引进了对偶范数後,E′成为一个赋范线性空间。可以证明,E′在对偶范数下必然是完备的,所以E′是巴拿赫空间。

证明

给定一个由E′中元素构成的柯西序列 ,其中每一个 都是E-线性泛函。由柯西序列的定义可知,

  使得 

所以对E中任何元素x,都有:

 

这说明 是柯西数列,因而收敛:数列的极限存在。定义函数 如下:

 

这样定义的函数f 是连续线性泛函,属于E′。事实上:

  1. f 是线性映射:
     
     
  2. f 是连续映射:
     定为1,则存在 ,使得 ,都有 ,这说明:
      因此,  都有 
     趋向无穷大时,就有: 。这说明f 是连续映射。

最后证明f 是序列 在对偶范数下的极限:

给定 ,总能找到 ,使得:
  所以, 
 
 趋向无穷大时,就有: 
因此, 

这说明序列 在对偶范数下收敛到f。所以E′是完备空间。

例子

给定两个大于1的实数pq。如果两者满足: ,那么序列空间  互相是对偶空间(在同构的意义上)。 装备的是序列p-范数之时,它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的 建立等距同构。当 时,以上性质说明, 和自身对偶。

参见

参考来源