加托導數

数学上,加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的方向导数的概念的推广。它以勒內·加托命名,他是一位法国数学家,年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸拓扑向量空间上,可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念,常见于變分法物理学,特别是量子场论。和其他形式的导数不同,加托导数是非线性的。

定义

假设   局部凸拓扑向量空间,(例如巴拿赫空间),  是開集合(open set),且    在點   沿着   方向的加托偏微分(Gâteaux differential)   定义为

 

如果极限存在。固定    对于所有   都存在,则称    是加托可微(Gâteaux differentiable )。若    是加托可微,稱   為在   的加托導數。

  是在  连续可微的

 

连续的。

属性

若加托导数存在,则其为唯一。

对于每个 ,加托导数是一个算子 。 该算子是齐次的,使得

 ,但是它通常不是可加的,并且,因此而不总是线性的,不像Fréchet导数

例子

  为一个在欧几里得空间   勒贝格可测集   上的平方可积函数希尔伯特空间,也就是說   是勒貝格可測集  。泛函  

 

给出,其中   是一个定義在實數上的可微值函数且    為定義在   的實數值函數,则加托导数为

  這符號代表  .

更詳細的說:

 
 
 

  (并假设所有积分有定义),得到加托导数

 

也就是,内积 

参看

参考