Youla-Kucera參數化

Youla-Kucera參數化(Youla–Kučera parametrization)也稱為Youla參數化(Youla parametrization)或是YK參數化,是控制理論中一個參數化英語parametrization的公式,描述所有針對一受控體P的所有可能穩定回授控制器,表示為單一參數Q的函數。

細節

YK參數化是通用的結果,是控制理論的基礎結果,不過在新的研究領域(如最佳控制及強健控制中)也有其應用[1]

為了方便瞭解其概念,先用簡單的例子舉例,再慢慢擴展,這也是Kučera的作法。

穩定的SISO系統

 為穩定單一輸入單一輸出(SISO)系統的傳遞函數。再令Ω是s的穩定proper函數的集合。則所有可以讓系統 穩定的proper控制器可以定義如下:

 ,

其中 是任意s的穩定proper函數。也可以說 參數化了所有可以讓系統 穩定的控制器。

一般SISO系統

考慮一系統其傳遞函數為 ,且此傳遞函數可以分解為

 ,其中M(s)和N(s)是s的穩定proper函數。

求解下式的貝祖等式

 ,

其中待解的變數(X(s), Y(s))也要是穩定proper函數。

在找到穩定proper的X和Y後,可以定義穩定化控制器為 。在找到一個穩定化控制器後,可以用一個穩定proper的參數Q(s)來定義所有穩定化控制器,其集合為  ,

一般MIMO系統

在多重輸入多重輸出(MIMO)系統中,考慮傳遞矩陣 。可以用右互質因式 或左因式 來分解。因式需要是穩定、proper及雙重互質,因此確保系統P(s)是可控制且可觀察的。可以用貝祖等式寫成下式

 .

在找到穩定proper的 後,可以用左因式或是右因式定義所有可穩定的控制器K(s)(假設存在負回授):

 

其中 是任意的穩定proper參數。

 是系統的傳遞函數,且 是一個穩定化的控制器,其右互質分解為:

 
 

則所有的穩定控制器可以寫成

 

其中Q是穩定且proper的函數[2]

YK公式在工程上的重要性是若要找到符合特定準則的可穩定控制器,可以調整Q來符合想要的準則。

參考資料

  1. ^ V. Kučera. A Method to Teach the Parameterization of All Stabilizing Controllers. 18th IFAC World Congress. Italy, Milan, 2011.[1]頁面存檔備份,存於網際網路檔案館
  2. ^ Cellier: Lecture Notes on Numerical Methods for control, Ch. 24. [2018-07-26]. (原始內容存檔於2015-05-17). 
  • D. C. Youla, H. A. Jabri, J. J. Bongiorno: Modern Wiener-Hopf design of optimal controllers: part II, IEEE Trans. Automat. Contr., AC-21 (1976) pp319–338
  • V. Kučera: Stability of discrete linear feedback systems. In: Proceedings of the 6th IFAC. World Congress, Boston, MA, USA, (1975).
  • C. A. Desoer, R.-W. Liu, J. Murray, R. Saeks. Feedback system design: the fractional representation approach to analysis and synthesis. IEEE Trans. Automat. Contr., AC-25 (3), (1980) pp399–412
  • John Doyle, Bruce Francis, Allen Tannenbaum. Feedback control theory. (1990). [2]頁面存檔備份,存於網際網路檔案館