從上述定義中可見，當計算被表達成冪塔 的迭代冪次 時，冪 運算是先由最深層（以符號來表示，則最高級）的上標數 做起。例子如下：
4
2
=
2
2
2
2
=
2
[
2
(
2
2
)
]
=
2
(
2
4
)
=
2
16
=
65
,
536
{\displaystyle \,\!\ ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left[2^{\left(2^{2}\right)}\right]}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65,\!536}
要注意，冪 是不遵從結合律 的，因此以其他順序來計算上述表達式將會出現不一樣的答案，例如：
2
2
2
2
≠
[
(
2
2
)
2
]
2
=
2
2
⋅
2
⋅
2
=
256
{\displaystyle \,\!2^{2^{2^{2}}}\neq \left[{\left(2^{2}\right)}^{2}\right]^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=256}
因此，冪塔 一定要從上而下（或從右至左）來運算。在電腦程式中，此制式稱為右結合律 。
當a 與n 為互質 時，我們可以透過歐拉定理 來計算
a
a
⋅
⋅
a
⏟
n
{\displaystyle \scriptstyle \underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}
m 個小數位值。
迭代冪次 在英文裡面稱作tetration ，有時亦會被稱為superexponentiation 及hyperpower （中文意譯超冪 ）等，這些詞語也可被用來表示這種運算模式。
迭代冪次 有時會跟一些相關的函數 及表達式 混淆，這是因為在這些函數 及表達式 當中的大部分專門用語均適用於迭代冪次 。以下列舉了一些相關用語：
形式
用語
a
a
⋅
⋅
a
a
{\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}
迭代冪次
a
a
⋅
⋅
a
x
{\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}
迭代指數
a
1
a
2
⋅
⋅
a
n
{\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}
指數群 （亦作指數塔）
a
1
a
2
a
3
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}
無窮指數 （亦作無窮指數塔）
在首兩種表達式當中的a 是底數 ，而a 出現的數目則是高度值 （x 的出現使高度值 加1）。在第三種表達式當中，n 是高度值 ，但每一個底皆不相同。
要注意的是，迭代指數 的形式有時也會被稱為迭代冪次 。這是模稜兩可的，因為這可以指迭代 乘方 或迭代指數 。
可以用來表示迭代冪次 的符號有很多，當中有一些符號可用來表示更高級的迭代運算（hyper-5、hyper-6 等等）。
名稱
形式
描述
標準符號記法
n
a
,
a
[
4
]
n
{\displaystyle \,{}^{n}a,a[4]n}
Maurer及Goodstein分別於1901年及1947年使用此記法，其後由美國數學家魯迪·拉克 於其著作"Infinity and the Mind"中將這個記法普及化。
高德納箭號表示法
a
↑↑
n
{\displaystyle a{\uparrow \uparrow }n}
允許加上更多箭號，乃至在箭號的右上方標上正整數n （↑n
康威鏈式箭號表示法
a
→
n
→
2
{\displaystyle a\rightarrow n\rightarrow 2}
允許把2 改成更大的整數以作推廣（同上述推廣法），亦可透過延長鏈式來作出推廣。
阿克曼函數
n
2
=
A
(
4
,
n
−
3
)
+
3
{\displaystyle {}^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3}
底數為2（
a
=
2
{\displaystyle a=2}
阿克曼函數式 。
迭代指數表示法
n
a
=
exp
a
n
(
1
)
{\displaystyle {}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)}
迭代指數可以為1以外的數字。
Hooshmand符號記法[ 1]
uxp
a
n
,
a
n
{\displaystyle \operatorname {uxp} _{a}n,\,a^{\frac {n}{}}}
超運算 符號
a
(
4
)
n
,
hyper
4
(
a
,
n
)
{\displaystyle a^{(4)}n,\,\operatorname {hyper} _{4}(a,n)}
允許把4改為更大的整數，以表示更高級數的超運算
ASCII 符號
a^^n
由於上箭號的用法跟脫字符 （^）一樣，迭代冪次 運算符可寫成（^^）。同樣允許更多^連續表示；
上述的迭代指數表示法中使用的迭代指數記號，一般被定義成：
exp
a
n
(
x
)
=
a
a
⋅
⋅
a
x
{\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}
n 個a 。以下是一些用以表示迭代指數的符號：
名稱
形式
描述
標準符號記法
exp
a
n
(
x
)
{\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}
歐拉 創造了符號
exp
a
(
x
)
{\displaystyle \exp _{a}(x)}
a
x
{\displaystyle a^{x}}
f
(
x
)
=
exp
a
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\exp _{a}(x)}
exp
a
n
(
x
)
{\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}
迭代函數
f
n
(
x
)
{\displaystyle f^{n}(x)}
高德納箭號表示法
(
a
↑
)
n
(
x
)
{\displaystyle (a{\uparrow })^{n}(x)}
允許增加箭號的數目用以表示超冪 （迭代冪次 ）和超指數（迭代指數），在大數 一條目中常被用到。
Ioannis Galidakis符號記法
n
(
a
,
x
)
{\displaystyle \,{}^{n}(a,x)}
底數部分可以改成較長的表達式。[ 2]
ASCII（輔助）
a^^n@x
以迭代指數作為迭代冪次的輔助函數。
ASCII（標準）
exp_a^n(x)
基於標準符號記法。
J符號記法
x^^:(n-1)x
重複冪次。詳見J語言 [ 3]
在下表，大部分數值大得連科學記數法也難以表示，因此使用了迭代指數記號，設底數為10來表示。包含小數點的數值是近似值。
x
{\displaystyle x}
2
x
{\displaystyle {}^{2}x}
3
x
{\displaystyle {}^{3}x}
4
x
{\displaystyle {}^{4}x}
1
1
1
1
2
4
16
65,536
3
27
7,625,597,484,987
exp
10
3
(
1.09902
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(1.09902)}
4
256
exp
10
2
(
2.18788
)
{\displaystyle \exp _{10}^{2}(2.18788)}
exp
10
3
(
2.18726
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.18726)}
5
3,125
exp
10
2
(
3.33931
)
{\displaystyle \exp _{10}^{2}(3.33931)}
exp
10
3
(
3.33928
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(3.33928)}
6
46,656
exp
10
2
(
4.55997
)
{\displaystyle \exp _{10}^{2}(4.55997)}
exp
10
3
(
4.55997
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.55997)}
7
823,543
exp
10
2
(
5.84259
)
{\displaystyle \exp _{10}^{2}(5.84259)}
exp
10
3
(
5.84259
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(5.84259)}
8
16,777,216
exp
10
2
(
7.18045
)
{\displaystyle \exp _{10}^{2}(7.18045)}
exp
10
3
(
7.18045
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(7.18045)}
9
387,420,489
exp
10
2
(
8.56784
)
{\displaystyle \exp _{10}^{2}(8.56784)}
exp
10
3
(
8.56784
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(8.56784)}
10
10,000,000,000
exp
10
3
(
1
)
{\displaystyle \exp _{10}^{3}(1)}
exp
10
4
(
1
)
{\displaystyle \exp _{10}^{4}(1)}
逼近法
以下是對迭代冪次函數的線性逼近法 （以滿足連續函數的需要性，逼近法基於此函數的可微性質）的定義：
x
a
≈
{
log
a
(
x
+
1
a
)
x
≤
−
1
1
+
x
−
1
<
x
≤
0
a
(
x
−
1
a
)
0
<
x
{\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}(^{x+1}a)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}
由此可得：
逼近法
定義域
x
a
≈
x
+
1
{\displaystyle \,{}^{x}a\approx x+1}
for
−
1
<
x
<
0
{\displaystyle -1<x<0}
x
a
≈
a
x
{\displaystyle \,{}^{x}a\approx a^{x}}
for
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
x
a
≈
a
a
(
x
−
1
)
{\displaystyle \,{}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}}
for
1
<
x
<
2
{\displaystyle 1<x<2}
及其他逼近值。不過，這個函數只是分段可微的；在x為整數的時候，函數的導數要乘以
ln
a
{\displaystyle \ln {a}}
1
2
π
e
≈
5.868...
,
−
4.3
0.5
≈
4.03335...
{\displaystyle {\begin{aligned}{}^{{\frac {1}{2}}\pi }e&\approx 5.868...,\\{}^{-4.3}0.5&\approx 4.03335...\end{aligned}}}
Hooshmand的手稿中有一個重要定理[ 1]
0
<
a
≠
1
{\displaystyle 0<a\neq 1}
f
:
(
−
2
,
+
∞
)
→
R
{\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
a
f
(
x
−
1
)
for all
x
>
−
1
,
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\mbox{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1}
f
{\displaystyle f}
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
f
′
{\displaystyle f^{\prime }}
(
−
1
,
0
)
,
{\displaystyle (-1,0),}
單調函數 ；
f
′
(
0
+
)
=
(
ln
a
)
f
′
(
0
−
)
or
f
′
(
−
1
+
)
=
f
′
(
0
−
)
.
{\displaystyle f^{\prime }(0^{+})=(\ln a)f^{\prime }(0^{-}){\mbox{ or }}f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{-}).}
由此，
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
exp
a
[
x
]
(
a
x
)
=
exp
a
[
x
+
1
]
(
x
)
for all
x
>
−
2
{\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}(a^{x})=\exp _{a}^{[x+1]}(x)\quad {\mbox{for all}}\;\;x>-2}
當中，
(
x
)
=
x
−
[
x
]
{\displaystyle (x)=x-[x]}
exp
a
[
x
]
{\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}
exp
a
{\displaystyle \exp _{a}}
[
x
]
{\displaystyle [x]}
迭代函數 。
以上四個條件中的第二個條件僅當
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
對自然迭代冪次 函數
x
e
{\displaystyle {}^{x}e}
若
f
:
(
−
2
,
+
∞
)
→
R
{\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }
f
(
x
)
=
e
f
(
x
−
1
)
for all
x
>
−
1
,
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\mbox{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1}
f
{\displaystyle f}
(
−
1
,
0
)
{\displaystyle (-1,0)}
凸函數 ；
f
′
(
0
−
)
≤
f
′
(
0
+
)
.
{\displaystyle f^{\prime }(0^{-})\leq f^{\prime }(0^{+}).}
那麼
f
=
uxp
{\displaystyle f={\mbox{uxp}}}
f
=
uxp
{\displaystyle f={\mbox{uxp}}}
這個定理的證明跟之前提到的證明法十分相似；遞迴方程式保證了
f
′
(
−
1
+
)
=
f
′
(
0
+
)
,
{\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
所以，自然迭代函數的線性逼近法是凸 於
(
−
1
,
+
∞
)
{\displaystyle (-1,+\infty )}
f
(
x
)
=
e
f
(
x
−
1
)
(
x
>
−
1
)
{\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}
拐點 。
以下是對a ≠ e的迭代冪次函數的二次逼近法 （逼近法基於此函數的可微性質）的定義：
x
a
≈
{
log
a
(
x
+
1
a
)
x
≤
−
1
−
log
(
a
)
+
x
[
1
−
log
(
a
)
2
]
+
1
1
−
log
(
a
)
−
1
<
x
≤
0
a
(
x
−
1
a
)
0
<
x
{\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\\{\frac {-\log(a)\;+\;{\sqrt {x[1\;-\;\log(a)^{2}]\;+\;1}}}{1\;-\;\log(a)}}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}
這對所有
x
>
0
{\displaystyle x>0}
a
=
e
{\displaystyle a=e}
有關於三次逼近法，以及一個能歸納出n 次逼近法的方法，詳見：[ 4]
迭代冪次 能被推廣至定義
n
0
{\displaystyle {^{n}0}}
定義域 。
指數
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
n
0
{\displaystyle \,{^{n}0}}
lim
x
→
0
n
x
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{^{n}}x}
lim
x
→
0
n
x
=
{
1
,
n
even
0
,
n
odd
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\mbox{ even}}\\0,&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}}
所以我們能連續地定義
n
0
=
lim
x
→
0
n
x
{\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}
0
0
=
1
{\displaystyle 0^{0}=1}
在這推廣之下，
0
0
=
1
{\displaystyle {}^{0}0=1}
0
a
=
1
{\displaystyle {^{0}a}=1}
由於複數 可以作為指數，迭代冪次的底數可以為
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle \scriptstyle z\;=\;a+bi}
i
{\displaystyle \scriptstyle i}
平方根 。舉例來說，設
z
=
i
{\displaystyle \scriptstyle z\;=\;i}
n
z
{\displaystyle \scriptstyle {}^{n}z}
主枝 歐拉公式 得出以下關係：
i
a
+
b
i
=
e
1
2
π
i
(
a
+
b
i
)
=
e
−
1
2
π
b
(
cos
π
a
2
+
i
sin
π
a
2
)
{\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}
這表明了
(
n
+
1
)
i
=
a
′
+
b
′
i
{\displaystyle \scriptstyle {}^{(n+1)}i\;=\;a'+b'i}
n
i
=
a
+
b
i
{\displaystyle \scriptstyle {}^{n}i\;=\;a+bi}
a
′
=
e
−
1
2
π
b
cos
π
a
2
b
′
=
e
−
1
2
π
b
sin
π
a
2
{\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}
從而導出以下的逼近值：
n
i
{\displaystyle {}^{n}i}
逼近值
1
i
=
i
{\displaystyle {}^{1}i=i}
i
2
i
=
i
(
1
i
)
{\displaystyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}
0.2079
{\displaystyle 0.2079}
3
i
=
i
(
2
i
)
{\displaystyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}
0.9472
+
0.3208
i
{\displaystyle 0.9472+0.3208i}
4
i
=
i
(
3
i
)
{\displaystyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}
0.0501
+
0.6021
i
{\displaystyle 0.0501+0.6021i}
5
i
=
i
(
4
i
)
{\displaystyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}
0.3872
+
0.0305
i
{\displaystyle 0.3872+0.0305i}
6
i
=
i
(
5
i
)
{\displaystyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}
0.7823
+
0.5446
i
{\displaystyle 0.7823+0.5446i}
7
i
=
i
(
6
i
)
{\displaystyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}
0.1426
+
0.4005
i
{\displaystyle 0.1426+0.4005i}
8
i
=
i
(
7
i
)
{\displaystyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}
0.5198
+
0.1184
i
{\displaystyle 0.5198+0.1184i}
9
i
=
i
(
8
i
)
{\displaystyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}
0.5686
+
0.6051
i
{\displaystyle 0.5686+0.6051i}
根據上一部分對於迭代冪次的逆向關係的定義，可得
0
i
=
1
{\displaystyle \scriptstyle \,{}^{0}i\;=\;1}
(
−
1
)
i
=
0
{\displaystyle \scriptstyle \,{}^{(-1)}i\;=\;0}
n 在虛數軸上會得出無窮的結果。在複平面 當中，整個序列成螺旋形地趨向於極限
0.4383
+
0.3606
i
{\displaystyle 0.4383+0.3606i}
n 為無窮時，函數相對應的值。
這樣的迭代冪次序列由歐拉 時期已開始被研究，但是由於序列的雜亂性而難以被理解。歷史上大部分有正式發表的研究皆集中於冪塔函數的收歛性。高運算效率電腦連同計算機代數系統和分形幾何系統的出現大大地促進了近代對於迭代冪次 的研究。現時對迭代冪次的研究均建基於複動力學的普遍知識及對指數映射的專門研究。
迭代冪次可被推廣至無窮 高（
n
a
{\displaystyle {}^{n}a}
n ）。這是因為當底數在一個特定的區間之內而高度值趨向於無窮 時，迭代冪次會收歛於一個有限的數值。舉例來說，
2
2
2
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}
2
2
2
2
2
1.414
=
2
2
2
2
1.63
=
2
2
2
1.76
=
2
2
1.84
=
2
1.89
=
1.93
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&={\sqrt {2}}^{1.89}\\&=1.93\end{aligned}}}
一般來說，有限冪塔
x
x
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}
n 趨向於無窮時
n
x
{\displaystyle {}^{n}x}
e −e ≤ x ≤ e 1/e ，大約是位於0.066和1.44之間的區間，這是由萊昂哈德·歐拉 所證明的。如果存在一個極限，這會是一個對於方程式y = x y x = y 1/y 。根據這個極限的定義，當x > e 1/e 時，x 的無窮迭代冪次不具收歛性，因為y 1/y 的最大值為e 1/e 。
以上特性可以被推廣至複數底z ，定義如下：
∞
z
=
z
z
⋅
⋅
⋅
=
W
(
−
ln
z
)
−
ln
z
{\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}}
當中的W （z ）表示朗伯W函數 。
由於極限y = ∞ x （如果存在的話，即當e −e < x < e 1/e ）必定滿足x y y ，因而得出x ↦ y = ∞ x 是y ↦ x = y 1/y 的反函數（較低枝）。
為了維持原有法則：
(
k
+
1
)
a
=
a
(
k
a
)
{\displaystyle {^{(k+1)}a}=a^{({^{k}a})}}
當
k
{\displaystyle k}
k
a
=
log
a
(
(
k
+
1
)
a
)
{\displaystyle {^{k}a}=\log _{a}\left({^{(k+1)}a}\right)}
所以：
(
−
1
)
a
=
log
a
(
0
a
)
=
log
a
1
=
0
{\displaystyle {}^{(-1)}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}
不過，當高度值為更小的負值時就不能以此方法良好地定義出來了，因為
(
−
2
)
a
=
log
a
(
−
1
a
)
=
log
a
0
{\displaystyle {}^{(-2)}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0}
這是定義不良好的。
更要注意的是，當
a
=
1
{\displaystyle a=1}
(
−
1
)
1
{\displaystyle \,\!{^{(-1)}1}}
0
1
=
1
=
1
n
{\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}
n
=
(
−
1
)
1
{\displaystyle \,\!n={^{(-1)}1}}
當前還未有對於推廣迭代冪次至
n
{\displaystyle n}
一般來說，問題在於對任何實數a > 0，找出一個能滿足以下條件的超冪函數
f
(
x
)
=
x
a
{\displaystyle \,f(x)={}^{x}a}
x
>
−
2
{\displaystyle x>-2}
(
−
1
)
a
=
0
{\displaystyle \,{}^{(-1)}a=0}
0
a
=
1
{\displaystyle \,{}^{0}a=1}
x
a
=
a
(
(
x
−
1
)
a
)
{\displaystyle \,{}^{x}a=a^{\left({}^{(x-1)}a\right)}}
x > -1。第四個條件通常為以下其中一個： A的連續性 需要（通常是指在a 和x 皆可變時，
x
a
{\displaystyle {}^{x}a}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
A的可微性 需要（可以是對於x 一次、二次、k 次，或是無窮可微）。
A的規律性 需要（僅當對於x 二次可微），即是：
(
d
2
d
x
2
f
(
x
)
>
0
)
{\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
對於第四個條件，不同的編者有不同的說法，而且亦視乎於採用何種逼近法。對於把迭代冪次推廣至實高，有兩種主要的逼近法，一種是建基於規律性 需要，另一種則建基於可微性 需要。這兩種逼近法似乎十分相異，皆因它們所得出的結果並不相符。
幸運地，任何在一段長度的區間內滿足到其中一種逼近法的解，皆能被推廣為一個對於所有正實數高度值的迭代冪次的通解。當
x
a
{\displaystyle \,{}^{x}a}
x
>
−
2
{\displaystyle x>-2}
其中一個簡單的推廣方式為：
a
[
n
]
b
=
c
{\displaystyle a[n]b=c}
若且唯若
c
[
n
]
(
1
b
)
=
a
,
n
>
1
{\displaystyle c[n]({\frac {1}{b}})=a,n>1}
[ 5]
n
=
2
{\displaystyle n=2}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
a
×
b
=
c
{\displaystyle a\times b=c}
c
×
(
1
b
)
=
a
{\displaystyle c\times ({\frac {1}{b}})=a}
a
b
=
c
{\displaystyle a^{b}=c}
c
1
b
=
a
{\displaystyle c^{\frac {1}{b}}=a}
舉例，當
n
=
4
{\displaystyle n=4}
1
2
256
{\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}256}
3
4
256
{\displaystyle {}^{\frac {3}{4}}256}
2
4
=
4
4
=
256
{\displaystyle {}^{2}4=4^{4}=256}
1
2
256
=
4
{\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}256=4}
3
2
=
2
2
2
=
16
{\displaystyle {}^{3}2={2}^{{2}^{2}}=16}
1
3
16
=
2
{\displaystyle {}^{\frac {1}{3}}16=2}
以下為有關猜想 [ 6] F 為方程式F (z +1)=exp(F (z ))z 逼近於±i ∞及F 在整個複數z 平面當中為全純函數 ，F (0)=1 及F (z )逼近於對數的不動點 （大約為 0.31813150520476413531 ± 1.33723570143068940890i ）。
Daniel Geisler, tetration.org （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）
Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (A simpler, easier to read review of the next reference)
Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals
Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）(An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）(Attempt to extend tetration to real numbers.)
Ioannis Galidakis, Mathematics (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）
Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）
Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）(Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)
R. Knobel. "Exponentials Reiterated." American Mathematical Monthly 88 , (1981), p. 235-252.
Hans Maurer. "Über die Funktion
y
=
x
[
x
[
x
(
⋯
)
]
]
{\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}
Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4 , (1901), p. 33-50. (Reference to usage of
n
a
{\displaystyle \ {^{n}a}}
Marco Ripà, "La strana coda della serie n^n^...^n", Trento (2011). ISBN 9788861787896
![{\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left[^{(n-1)}a\right]}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef034adffb4f894b2724efb5a8269c0854df5537)
![{\displaystyle \,\!\ ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left[2^{\left(2^{2}\right)}\right]}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65,\!536}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62ba9ff84c6ef312eebc36abaa75fbf1d39edf9)
![{\displaystyle \,\!2^{2^{2^{2}}}\neq \left[{\left(2^{2}\right)}^{2}\right]^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=256}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdd629e459e22a4af2885ea2872879604bdb2f4e)
![{\displaystyle \,{}^{n}a,a[4]n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ca75587f059356f47ccaf759e2dc5508f376e48)
![{\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}(a^{x})=\exp _{a}^{[x+1]}(x)\quad {\mbox{for all}}\;\;x>-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6887794b5f9ea6472e6c940cd4b87103eaf775cc)
![{\displaystyle (x)=x-[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3c5b2b6494c985ffe63ec9548834cfae900bc0)
![{\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81a37f010ff0850c71f204426bb68d1964b34bc)
![{\displaystyle [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07548563c21e128890501e14eb7c80ee2d6fda4d)
![{\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\\{\frac {-\log(a)\;+\;{\sqrt {x[1\;-\;\log(a)^{2}]\;+\;1}}}{1\;-\;\log(a)}}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c1796778c2eda2b367a7e359f1fe5274d7d5da)
![{\displaystyle a[n]b=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f12fc29eabd62f5d4dddd5dcaf9e68c89645dec)
=a,n>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c827ee3533b659b74815768bda34588d63185a59)
![{\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab69cf15b7afca0a5f9cc89da314bbb89b61a749)
