正扭歪無限面體
在幾何學中，正扭歪[1][2]無限面體（英語：Regular skew apeirohedron），又稱扭歪正多面體（日語：ねじれ正多面体）[註 1]是一種頂點並非全部共面的正無限面體，即每個面都全等、每個角也相等的扭歪無限面體。通常扭歪無限面體會具有正扭歪的面或扭歪的頂點圖。
歷史
關於考克斯特，1926年時，約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念推廣到四維空間的扭歪多面體和三維空間的扭歪無限面體。
考克斯特找到了三種形式，他們具有平的面和扭歪的頂點圖，兩者彼此互補。它們都可以用施萊夫利符號的擴展符號{l,m|n}來表示。這個擴展符號{l,m|n}表示每個頂點都是 個正 邊形的公共頂點，且存在正 邊形的空洞。
若一扭歪無限面體是一個正扭歪無限面體，則其施萊夫利符號存在下列等式：
- 2 sin(π/l) · sin(π/m) = cos(π/n)
三維空間的正扭歪無限面體
三維空間中有三種扭歪無限面體，分別為四角六片四角孔扭歪無限面體、六角四片四角孔扭歪無限面體和六角六片三角孔扭歪無限面體。約翰·康威將他們稱為多立方體（英語：Mucube）、多八面體（英語：Muoctahedron）和、多四面體（英語：Mutetrahedron），英文中的字首mu-表示「多」（英語：multiple）的意思，其意義分別代表「很多立方體」、「很多八面體」以及「很多四面體」[3]。
- 四角六片四角孔扭歪無限面體（多立方體、英語：Mucube）：{4,6|4}：每個頂點都是六個正方形的公共頂點
- 六角四片四角孔扭歪無限面體（多八面體、英語：Muoctahedron）：{6,4|4}：每個頂點都是四個六邊形的公共頂點
- 六角六片三角孔扭歪無限面體（多四面體、英語：Mutetrahedron）：{6,6|3}：每個頂點都是六個六邊形的公共頂點
考克斯特給予這些 {2q,2r|p} 形式的扭歪無限面體與抽象群 (2q,2r|2,p) 同構的[[(p,q,p,r)]+的手徵對稱性。與之相關的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的擴展對稱性[4]。
| 考克斯特群 對稱性 |
無限面體 {p,q|l} |
圖像 | 面 {p} |
洞 {l} |
頂點圖 | 相關堆砌 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
   [[4,3,4]] [[4,3,4]+] |
{4,6|4} 四角六片四角孔 扭歪無限面體 多立方體 |
 動畫 |
 |
|
扭歪六邊形 （黃色部分） |
 t0,3{4,3,4} |
|
| {6,4|4} 六角四片四角孔 扭歪無限面體 多八面體 |
 動畫 |
 |
扭歪四邊形 （綠色部分） |
 2t{4,3,4} |
| ||
 [[3[4]]] [[3[4]]+] |
{6,6|3} 六角六片三角孔 扭歪無限面體 多四面體 |
 動畫 |
 |
 |
扭歪六邊形 （綠色部分） |
q{4,3,4} |
|
三維雙曲空間的正扭歪無限面體
1967年時，C. W. L. Garner以類似於在歐式三維空間尋找正扭歪無限面體的方式，發現了31種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體[5]。
14種緊空間正扭歪無限面體
| 考克斯特群 | 無限面體 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 頂點圖 | 無限面體 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 頂點圖 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 [3,5,3] |
{10,4|3} |  |
|
2t{3,5,3} |
 |
{4,10|3} | |
|
t0,3{3,5,3} |
| |
 [5,3,5] |
{6,4|5} | |
 |
2t{5,3,5} |
 |
{4,6|5} | |
|
t0,3{5,3,5} |
| |
 [(4,3,3,3)] |
{8,6|3} | |
|
ct{(4,3,3,3)} |
 |
{6,8|3} | |
|
ct{(3,3,4,3)} |
| |
| [(5,3,3,3)] |
{10,6|3} | |
|
ct{(5,3,3,3)} |
 |
{6,10|3} | |
|
ct{(3,3,5,3)} |
| |
| [(4,3,4,3)] |
{8,8|3} | |
|
ct{(4,3,4,3)} |
 |
{6,6|4} | |
|
  ct{(3,4,3,4)} |
| |
| [(5,3,4,3)] |
{8,10|3} | |
|
ct{(4,3,5,3)} |
 |
{10,8|3} | |
|
ct{(5,3,4,3)} |
| |
| [(5,3,5,3)] |
{10,10|3} | |
|
ct{(5,3,5,3)} |
 |
{6,6|5} | |
|
ct{(3,5,3,5)} |
|
17種仿緊空間正扭歪無限面體
| 考克斯特群 | 無限面體 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 頂點圖 | 無限面體 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 頂點圖 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| [4,4,4] |
{8,4|4} | |
|
2t{4,4,4} |
 |
{4,8|4} | |
|
t0,3{4,4,4} |
| |
 [3,6,3] |
{12,4|3} |  |
|
2t{3,6,3} |
 |
{4,12|3} | |
|
t0,3{3,6,3} |
| |
 [6,3,6] |
{6,4|6} | |
|
2t{6,3,6} |
 |
{4,6|6} | |
|
t0,3{6,3,6} |
| |
| [(4,4,4,3)] |
{8,6|4} | |
|
ct{(4,4,3,4)} |
 |
{6,8|4} | |
|
ct{(3,4,4,4)} |
| |
| [(4,4,4,4)] |
{8,8|4} | |
|
q{4,4,4} |
| ||||||
 [(6,3,3,3)] |
{12,6|3} | |
|
ct{(6,3,3,3)} |
 |
{6,12|3} | |
|
ct{(3,3,6,3)} |
| |
| [(6,3,4,3)] |
{12,8|3} | |
|
ct{(6,3,4,3)} |
 |
{8,12|3} | |
|
ct{(4,3,6,3)} |
| |
| [(6,3,5,3)] |
{12,10|3} | |
|
ct{(6,3,5,3)} |
 |
{10,12|3} | |
|
ct{(5,3,6,3)} |
| |
| [(6,3,6,3)] |
{12,12|3} | |
|
ct{(6,3,6,3)} |
 |
{6,6|6} | |
|
ct{(3,6,3,6)} |
|
參見
註釋
- ^ 對於此主題（無限多個面的扭歪多面體），將之稱為「扭歪正多面體」可能會有歧義，因為非無限多面的扭歪多面體也可能是正多面體，例如正多面體#皮特里對偶。
參考文獻
- ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. （原始內容存檔於2020-11-19）.
- ^ 扭歪の意味. Weblio日中中日辭典. [2024-04-23]. （原始內容存檔於2013-07-20）.
- ^ The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
- ^ Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34)
- ^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.