有限差分法

在數學中，有限差分法（finite-difference methods，簡稱FDM），是一種微分方程式數值方法，是通過有限差分來近似導數，從而尋求微分方程式的近似解。

由泰勒展開式的推導

首先假設要近似函數的各級導數都有良好的性質，依照泰勒定理，可以形成以下的泰勒展開式：

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}h+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}h^{n}+R_{n}(x),$

其中n!表示是n的階乘，R_n(x)為餘數，表示泰勒多項式和原函數之間的差。可以推導函數f一階導數的近似值：

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+R_{1}(x),$

設定x₀=a，可得：

$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+R_{1}(x),$

除以h可得：

${f(a+h) \over h}={f(a) \over h}+f'(a)+{R_{1}(x) \over h}$

求解f'(a)：

$f'(a)={f(a+h)-f(a) \over h}-{R_{1}(x) \over h}$

假設$R_{1}(x)$相當小，因此可以將"f"的一階導數近似為：

$f'(a)\approx {f(a+h)-f(a) \over h}.$

準確度及誤差

近似解的誤差定義為近似解及解析解之間的差值。有限差分法的兩個誤差來源分別是捨入誤差及截尾誤差（或稱為離散化誤差），前者是因為電腦計算小數時四捨五入造成的誤差，後者則是用有限階級數表示導數引起的誤差。

有限差分法是以在格點上函數的值為準

在運用有限差分法求解一問題（或是說找到問題的近似解）時，第一步需要將問題的定義域離散化。一般會將問題的定義域用均勻的網格分割（可參考右圖）。因此有限差分法會製造一組導數的離散數值近似值。

一般會關注近似解的局部截尾誤差，會用大O符號表示，局部截尾誤差是指應用有限差分法一次後產生的誤差，因此為$f'(x_{i})-f'_{i}$，此時$f'(x_{i})$是實際值，而$f'_{i}$為近似值。泰勒多項式的餘數項有助於分析局部截尾誤差。利用$f(x_{0}+h)$泰勒多項式的餘數項，也就是

$R_{n}(x_{0}+h)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(h)^{n+1}$, 其中$x_{0}<\xi <x_{0}+h$,

可以找到局部截尾誤差的主控項，例如用前項差分法計算一階導數，已知$f(x_{i})=f(x_{0}+ih)$,

$f(x_{0}+ih)=f(x_{0})+f'(x_{0})ih+{\frac {f''(\xi )}{2!}}(ih)^{2},$

利用一些代數的處理，可得

${\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+{\frac {f''(\xi )}{2!}}ih,$

注意到左邊的量是有限差分法的近似，右邊的量是待求解的量再加上一個餘數，因此餘數就是局部截尾誤差。上述範例可以用下式表示：

${\frac {f(x_{0}+ih)-f(x_{0})}{ih}}=f'(x_{0})+O(h).$

在此例中，局部截尾誤差和時間格點的大小成正比。

範例：常微分方程式

例如考慮以下的常微分方程式

$u'(x)=3u(x)+2.\,$

利用數值方法中歐拉法求解，利用以下的有限差分式

${\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}\approx u'(x)$

來近似導數，並配合一些代數處理（等號兩側同乘以h，再加上u(x)），可得

$u(x+h)=u(x)+h(3u(x)+2).\,$

最後的方程式即為有限差分方程式，求解此方程式則可得到原方程式的近似解。

範例：熱傳導方程式

考慮正規化的一維熱傳導方程式，為齊次的狄利克雷邊界條件

$U_{t}=U_{xx}\,$

$U(0,t)=U(1,t)=0\,$（邊界條件）

$U(x,0)=U_{0}(x)\,$（初始條件）

對此問題求數值解的一種方式是用差分去近似所有的導數，可以將空間分割為$x_{0},...,x_{J}$，將時間也分割為$t_{0},....,t_{N}$。假設在時間及空間都是均勻的網格切割，空間中兩個連續位置的間隔為h，兩個連續時間之間的間隔為k。點

$u(x_{j},t_{n})=u_{j}^{n}$

表示$u(x_{j},t_{n})$的數值近似解。

顯式方法

熱傳導方程式最常用顯式方法的模版

利用在時間$t_{n}$的前向差分，以及在位置$x_{j}$的二階中央差分（FTCS 格式），可以得到以下的迭代方程式：

${\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}.\,$

這是用求解一維導熱傳導方程式的顯式方法。

可以用以下的式子求解$u_{j}^{n+1}$

$u_{j}^{n+1}=(1-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}$

其中$r=k/h^{2}.$

因此配合此迭代關係式，已知在時間n的數值，可以求得在時間n+1的數值。$u_{0}^{n}$及$u_{J}^{n}$的數值可以用邊界條件代入，在此例中為0。

此顯式方法在$r\leq 1/2$時，為數值穩定且收斂。其數值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

$\Delta u=O(k)+O(h^{2})\,$

隱式方法

隱式方法的模版

若使用時間$t_{n+1}$的後向差分，及位置$x_{j}$的二階中央差分（BTCS 格式），可以得到以下的迭代方程式：

${\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}.\,$

這是用求解一維導熱傳導方程式的隱式方法。

在求解線性聯立方程式後可以得到$u_{j}^{n+1}$：

$(1+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=u_{j}^{n}$

此方法不論$r$的大小，都數值穩定且收斂，但在計算量會較顯式方法要大，因為每前進一個時間間隔，就需要求解一個聯立的數值方程組。其數值誤差和時間間隔成正比，和位置間隔的平方成正比：

$\Delta u=O(k)+O(h^{2})\,$

克蘭克－尼科爾森方法

若使用時間$t_{n+1/2}$的中間差分，及位置$x_{j}$的二階中央差分（CTCS 格式），可以得到以下的迭代方程式：

${\frac {u_{j}^{n+1}-u_{j}^{n}}{k}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {u_{j+1}^{n+1}-2u_{j}^{n+1}+u_{j-1}^{n+1}}{h^{2}}}+{\frac {u_{j+1}^{n}-2u_{j}^{n}+u_{j-1}^{n}}{h^{2}}}\right).\,$

此公式為克蘭克－尼科爾森方法（Crank–Nicolson method）。

克蘭克－尼科爾森方法的模版

在求解線性聯立方程式後可以得到$u_{j}^{n+1}$：

$(2+2r)u_{j}^{n+1}-ru_{j-1}^{n+1}-ru_{j+1}^{n+1}=(2-2r)u_{j}^{n}+ru_{j-1}^{n}+ru_{j+1}^{n}$

此方法不論$r$的大小，都數值穩定且收斂，但在計算量會較顯式方法要大，因為每前進一個時間間隔，就需要求解一個聯立的數值方程組。其數值誤差和時間間隔的平方成正比，和位置間隔的平方成正比：

$\Delta u=O(k^{2})+O(h^{2}).\,$

若時間刻度較小時，克蘭克－尼科爾森方法是最精確的，而顯式方法是最不精確的，而且可能會不穩定，但是是最容易計算的，其數值計算量也最少。若時間刻度較大時，隱式方法的效果最好。

相關條目

• 有限元分析
• 差分
• 時域有限差分
• 模版 (數值分析)
• 有限差分係數
• 五點Stencil
• Lax等價定理
• 期權定價的有限差分法

參考資料

• K.W. Morton and D.F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, An Introduction. Cambridge University Press, 2005.
• Oliver Rübenkönig, The Finite Difference Method (FDM) - An introduction, (2006) Albert Ludwigs University of Freiburg
• Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications, (2008) [1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

外部連結

• Finite-Difference Method (see and listen to lecture 9)
• List of Internet Resources for the Finite Difference Method for PDEs
• Finite Difference Method of Solving ODEs (Boundary Value Problems) Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Lecture Notes Shih-Hung Chen, National Central University
• Randall J. LeVeque, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, SIAM, 2007.
• Finite Difference Method
• Finite Difference Method for Boundary Value Problems （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Finite Difference Methodology in Materials Science
• Numerical Methods for time-dependent Partial Differential Equations （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）