德卡斯特里奧算法

數學子領域數值分析中的德卡斯特里奧算法(英語:De Casteljau's algorithm),以發明者保爾·德·卡斯特里奧命名,是計算伯恩斯坦形式的多項式或貝茲曲線遞迴方法。

雖然對於大部分的體系結構,該算法和直接方法相比較慢,但它在數值上更為穩定

定義

貝茲曲線B(角度為n,控制點 )可用以下方式運用德卡斯特里奧算法

 ,

其中b伯恩施坦基本多項式英語Bernstein polynomial

 .

曲線在t0點上可以用遞迴關係式運算

 
 

然後,  點上的計算可以此算法的 步計算。 的結果為:

 

再者,貝茲曲線 可在 分成帶有各種控制點的兩段曲線:

 
 

注意事項

進行手算時把係數寫成三角形形式很有用。

 

當選擇一點t0來計算波恩斯坦多項式時,我們可以用三角形形式的兩個對角線來構造多項式的分段表示。

 

把它變成

 

以及

 

例子

我們要計算2次波恩斯坦多項式,其伯恩斯坦係數為

 
 
 

t0點計算。

我們有下式開始遞迴

 
 

遞迴的第二次重複結束於

 

這就是我們所預料的n階伯恩斯坦多項式。

貝塞爾曲線

在計算帶n+1個控制點Pi的三維空間中的n貝塞爾曲線 (Bézier curve) 時

 

其中

 .

我們把Bézier曲線分成三個分立的方程式

 
 
 

然後我們用de Casteljau算法分別計算。

偽代碼例子

這是一個遞迴的畫出一條從點P1P4,彎向P2P3的曲線的偽代碼例子。級數參數是遞迴的次數。該過程用增加了的級數參數來遞迴的調用它自己。當級別達到最大級別這個全局變量時,在P1P4之間就畫上直線。函數中點(midpoint)去兩個點,並返回這兩點間的線段的中點。

    global max_level = 5
    procedure draw_curve(P1, P2, P3, P4, level)
        if (level > max_level)
            draw_line(P1, P4)
        else
            L1 = P1
            L2 = midpoint(P1, P2)
            H  = midpoint(P2, P3)
            R3 = midpoint(P3, P4)
            R4 = P4
            L3 = midpoint(L2, H)
            R2 = midpoint(R3, H)
            L4 = midpoint(L3, R2)
            R1 = L4
            draw_curve(L1, L2, L3, L4, level + 1)
            draw_curve(R1, R2, R3, R4, level + 1)
    end procedure draw_curve

代碼實現

用线性插值计算P和Q之间的一点R,插值参数为t
用法:linearInterp P Q t
          P = 代表一个点的表
          Q = 代表一个点的表
          t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
返回:代表点(1-tP + tQ的表

>	linearInterp :: [Float]->[Float]->Float->[Float]
>	linearInterp [] [] _ = []
>	linearInterp (p:ps) (q:qs) t = (1-t)*p + t*q : linearInterp ps qs t

计算一对控制点间的线性插值的中间结果
用法:eval t b
          t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
          b = 控制点的表
返回:对n个控制点,返回n-1个插值点的表

>	eval :: Float->[[Float]]->[[Float]]
>	eval tbi:bj:[]= [linearInterp bi bj t]
>	eval t (bi:bj:bs) = (linearInterp bi bj t) : eval t (bj:bs)

de Casteljau算法计算Bezier曲线上一点
用法:deCas t b
          t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
          b = 控制点的表
返回:代表Bezier曲线上一个点的列表

>	deCas :: Float->[[Float]]->[Float]
>	deCas tbi:[]= bi
>	deCas t bs = deCas t (eval t bs)

de Casteljau算法计算沿着Bezier曲线的一系列点。点用一个列表返回。
用法:bezierCurve n b
         n = 要计算的点的个数
         b = Bezier控制点列表
返回:Bezier曲线上n1个点
例子:bezierCurve 50 <nowiki>[[0,0][1,1][0,1][1,0]]</nowiki>

>	bezierCurve :: Int->[[Float]]->[[Float]]
>	bezierCurve n b = [deCas (fromIntegral x / fromIntegral n) b | x<-[0 .. n] ]

(該代碼用到Python圖像庫頁面存檔備份,存於網際網路檔案館))

import Image
import ImageDraw

SIZE=128
image = Image.new("RGB", (SIZE, SIZE))
d = ImageDraw.Draw(image)

def midpoint((x1, y1), (x2, y2)):
    return ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)

MAX_LEVEL = 5
def draw_curve(P1, P2, P3, P4, level=1):
    if level == MAX_LEVEL:
        d.line((P1, P4))
    else:
        L1 = P1
        L2 = midpoint(P1, P2)
        H  = midpoint(P2, P3)
        R3 = midpoint(P3, P4)
        R4 = P4
        L3 = midpoint(L2, H)
        R2 = midpoint(R3, H)
        L4 = midpoint(L3, R2)
        R1 = L4
        draw_curve(L1, L2, L3, L4, level+1)
        draw_curve(R1, R2, R3, R4, level+1)

draw_curve((10,10),(100,100),(100,10),(100,100))

image.save(r"c:\DeCasteljau.png", "PNG")

print "ok."

參考

  • Farin, Gerald & Hansford, Dianne (2000). The Essentials of CAGD. Natic, MA: A K Peters, Ltd. ISBN 1-56881-123-3

參看