笛卡尔数

笛卡尔数(Descartes number)指的是假若将其中一个合成数因数当成质数处理,就会变成完全数的奇数。这类数字以勒内·笛卡尔为名,而这是因为笛卡尔注意到说假若把22021当成质数处理的话,那么D = 32⋅72⋅112⋅132⋅22021 = (3⋅1001)2 ⋅ (22⋅1001 − 1) = 198585576189就会满足完全数的条件之故,而这是因为假若把22021当成质数处理的话,其正因数的和就会满足下式:

当然在事实上,22021是一个合成数(22021 = 192 ⋅ 61),因此198585576189并不是完全数,而198585576189是笛卡尔数的一个例子。

笛卡尔数可定义为满足n = m ⋅ p的奇数n,在其中 m p 互质2n = σ(m) ⋅ (p + 1),而此处的p是一个被当成质数处理但实质上是合成数的“假质数”(spoof prime)。上面给出的例子是截至目前为止唯一已知的笛卡尔数的例子。

m是一个殆完全数[注 1],也就是说若σ(m) = 2m − 1 2m − 1 是一个“假质数”,那么n = m ⋅ (2m − 1)就会是一个笛卡尔数,而这是因为σ(n) = σ(m ⋅ (2m − 1)) = σ(m) ⋅ 2m = (2m − 1) ⋅ 2m = 2n之故;而若2m − 1是一个质数的话,那n就会是一个奇完全数。

性质

班柯斯(Banks)等人在2008年证明说,若n是一个无立方因子数,且n不能为 所除尽,那么n就会有超过一百万个彼此相异的质因数。

推广

约翰·渥伊多(John Voight)提出一个容许负整数的推广版笛卡尔数,他发现说在考虑负整数的状况下, 这数字会符合笛卡尔数的定义。[1]之后一群来自杨百翰大学的学者发现了更多类似的例子,[1]并加入了另一类的“假质数”,而这另一类的“假质数”允许在质因数分解时其中一个质数与另一个质数相同。[2]

参见

注释

  1. ^ 截至目前为止,所有已知的殆完全数都是2的非负次幂,因此唯一已知奇数的殆完全数为20 = 1.

引文来源

  1. ^ 1.0 1.1 Nadis, Steve. Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem. Quanta Magazine. September 10, 2020 [3 October 2021]. (原始内容存档于2023-04-27). 
  2. ^ Andersen, Nickolas; Durham, Spencer ; Griffin, Michael J. ; Hales, Jonathan ; Jenkins, Paul ; Keck, Ryan ; Ko, Hankun ; Molnar, Grant; Moss, Eric ; Nielsen, Pace P. ; Niendorf, Kyle ; Tombs, Vandy; Warnick, Merrill ; Wu, Dongsheng. Odd, spoof perfect factorizations. J. Number Theory. 2020, (234): 31-47. arXiv:2006.10697 .  arXiv version页面存档备份,存于互联网档案馆

参考资料