黑克代数

黑克代数，又名黑克环，是对称群环（group ring for the symmetric group）$\mathbb {c} {\mathfrak {S}}_{d}$的$\epsilon -$形变，在代数数论及表示论都会出现。

定义

设

• $\epsilon \in \mathbb {C}$
• $l\geq 1$

黑克环${\mathfrak {H}}_{l}(\epsilon )$产生自：

• $\sigma _{1},\sigma _{2},......,\sigma _{l-1}$

而$\sigma _{i}$要符合：

• $\sigma _{i}\sigma _{i}^{-1}=\sigma _{i}^{-1}\sigma _{i}=1$
• 当|i-j|>1，就有 $\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}$
• 当j=i+1，就有$\sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}$
• $(\sigma _{i}+1)(\sigma _{i}-\epsilon )=0$

当l=1时，就约定${\mathfrak {H}}_{1}(\epsilon )=\mathbb {C}$。

留意：最后一项条件中当$\epsilon =1$时，$\sigma _{i}^{2}=1$，此所谓形变。

参考

• Vyjayanthi Chari / Andrew Pressley (1994), "A Guide to Quantum Groups", Cambridge, ISBN 0-521-55884-0 , p.332