离散时间信号

离散时间信号的（时间）自变量仅在离散时刻有定义。大多数离散时间信号是由对连续时间信号采样得到的。取值上可以仍然取连续值。

信号可以以时间序列表示。对于一维信号，以两个向量方式表示，例如

n = [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3]

x = [2, 1.2, -3.6, 0, 1, 4, 6.3]

更高维的信号也可以用多维向量表示。

基本信号

单位脉冲序列

$\delta (k)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}k=0\\0,&{\mbox{if }}k\not =0\end{matrix}}\right.$

由数学式可见该序列仅在k=0处取单位值，其余点均为零，因此又称“单位取样序列”、“单位样本函数”或“单位脉冲序列”等。

单位序列的作用类似于连续时间信号中的$\delta (t)$，也具有抽样性，即为：

${\mathcal {f}}(k)\delta (k)={\mathcal {f}}(0)\delta (k)$

${\mathcal {f}}(k)\delta (k-m)={\mathcal {f}}(m)\delta (k-m)$

${\mathcal {f}}(k)\delta (k+m)={\mathcal {f}}(-m)\delta (k+m)$

但是$\delta (k)$和$\delta (t)$有本质上的差别：$\delta (t)$是一个奇异信号，可理解为一个在t=0处幅度无穷大,宽度无穷小且面积为1的脉冲，实际上无法实现。但是$\delta (k)$是一个非奇异信号，它在k=0处取有限值1，这在实际工程上是可以实现且存在的。

单位阶跃序列

$\mu (k)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}k\geq 0\\0,&{\mbox{if }}k<0\end{matrix}}\right.$

由数学式可见单位阶跃序列类似于连续时间信号中的单位阶跃函数$\mu (t)$，它也具有切除性。可将一个双边序列截为一个单边序列。同样$\mu (k)$和$\mu (t)$有本质上的差别：$\mu (t)$是一个奇异信号，它在t=0处发生阶跃，μ(0^-)=0，μ(0⁺)=1；而$\mu (k)$是一种非奇异信号，它在t=0处明确定义为1。

单位脉冲序列与单位阶跃序列有密切的关系。

单位脉冲序列是单位阶跃序列的一次后向差分，即为：

$\delta (k)=\mu (k)-\mu (k-1)$

而单位阶跃序列是单位脉冲序列的求和，即为：

$\mu (k)=\sum _{n=-\infty }^{k}\delta (n)=\sum _{m=0}^{\infty }\delta (k-m)$

离散复指数信号

在系统分析中，离散复指数信号$e^{jk\omega }$是一个非常重要的基本信号，在序列的傅立叶分析含离散系统的频率特性中得到广泛的应用。它的作用相当于在连续信号和连续系统的傅立叶分析所用到的基本信号$e^{jt\Omega }$

离散复指数信号 ${\mathcal {f}}(k)=e^{jk\omega }$

由尤拉公式可得 ${\mathcal {f}}(k)=e^{jk\omega }=\cos \omega k+j\sin \omega k$

实部表示离散余弦序列，虚部为离散正弦序列。

单边实指数序列

实指数序列是指序列值随序列变化按指数规律变化的离散时间信号，常用的实指数序列为单边实指数序列，当${\mathsf {k}}<0$时，${\mathcal {f}}(k)=0$，即 ${\mathcal {f}}(k)=a^{k}\mu (k)$， 若$\left\vert a\right\vert >1$，信号随k指数增长，序列呈现发散；若$\left\vert a\right\vert <1$，换句话说当${\mathcal {a}}$介于0至1之间时，则信号随${\mathcal {k}}$指数衰减，序列呈现收敛。另外，若${\mathcal {a}}$为正数时，信号的样值不改变符号；若${\mathcal {a}}$为负数时，信号的样值符号交替变化。若${\mathcal {a}}=1$，则${\mathcal {f}}(k)=\mu (k)$。 如果${\mathcal {f}}(k)=a^{-k}\mu (k)$，则当$\left\vert a\right\vert <1$时，${\mathcal {f}}(k)$为发散序列；当$\left\vert a\right\vert >1$时，${\mathcal {f}}(k)$为收敛序列。

正弦序列

正弦序列定义为${\mathcal {f}}(k)=\mathrm {A} \sin(\omega k+\varphi )$或${\mathcal {f}}(k)=\mathrm {A} \cos(\omega k+\theta )$，其中$\omega$为正弦序列的数字角频率; $\mathrm {A}$为正弦序列的振福;$\varphi$或$\theta$为相移。

对于连续时间正弦信号${\mathcal {f}}(k)=\mathrm {A} \sin(\Omega t+\varphi )$，具有以下两个性质:

1. $\Omega$越大，信号变化的速率就越快;
2. 对任何$\Omega$值，信号都是周期的。对于正弦序列，以上两项与连续信号相比有很大的不同。

对于离散正弦序列$\sin[(\omega +2\pi ){\mathcal {k}}+\varphi ]=\sin(\omega {\mathcal {k}}+\varphi )$，离散正弦序列在频率$\omega +2\pi$与频率$\omega$时是完全相同的，连续时间正弦信号对于不同的$\Omega$就对应着不同的信号;而对于频率为$\omega$的离散时间正弦信号与频率为$\omega \pm 2\pi$，$\omega \pm 4\pi$，...这些离散正弦信号是完全相同的。

因此在考虑离散正弦信号时，只需在某个$2\pi$间隔内选择频率就可以。通常选择$0\leqslant \omega <2\pi$或$-\pi \leqslant \omega <\pi$区间。通过以上的讨论可知，离散正弦信号并不是随$\omega$的无限增加而无限增加其振荡速率的。事实上，离散正弦序列的振荡速率是随$\omega$从0(常数序列)开始增加的，直到$\omega =\pi$为止，若继续增加$\omega$的话，其振荡速率就会下降，直到$2\pi$(常数序列)为止。因此离散正弦信号的低频段在$\omega$为0，$\pm 2\pi$，$\pm 4\pi$，...附近：而高频段在$\omega$为$\pm \pi$，$\pm 3\pi$附近，此时信号在每个点上都改变符号，产生最快速振荡。