格爾豐德-施奈德定理

格爾豐德-施奈德定理（英語：Gelfond–Schneider theorem）是一個可以用於證明許多數的超越性的結果。這個定理由蘇聯數學家亞歷山大·格爾豐德和德國數學家西奧多·施耐德在1934年分別獨立證明，它解決了希爾伯特第七問題。

表述

如果$\alpha$和$\beta$是代數數，其中$\alpha \notin \{0,1\}$，且$\beta$不是有理數，那麼任何$\alpha ^{\beta }=e^{\{\beta \log \alpha \}}$的值一定是超越數。

評論

• $\alpha$ 和 $\beta$ 不限於實數，也可以是虛部不為零的複數。因此，$\alpha ^{\beta }=\exp\{\beta \log \alpha \}$可以是多值的，其中「log」表示複數對數，且該定理對每個值都是成立的。
• 該定理的一個等價的表述是：如果 $\alpha$ 和 $\gamma$ 是非零的代數數，那麼 $(\log \gamma )/(\log \alpha )$ 要麼是有理數，要麼是超越數。

使用反證法。

令 $\beta =(\log \gamma )/(\log \alpha )=\log _{\alpha }\gamma$

假設 $\beta$ 不為超越數，也不為有理數，即為代數數

根據此定理，$\alpha ^{\beta }=\gamma$ 為超越數

但 $\alpha ^{\beta }=\alpha ^{\log _{\alpha }\gamma }=\gamma$ 卻是代數數，矛盾。

故 $(\log \gamma )/(\log \alpha )$ 要麼是有理數，要麼是超越數。

• 如果沒有 $\alpha$，$\beta$ 是代數數的限制，這個定理未必成立。例如：
  • 令 $\alpha ={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ 為超越數（由本定理可得知），$\beta ={\sqrt {2}}$ 為代數數，則

${\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2$，是代數數。

• • 令 $\alpha =3$ 為代數數，$\beta =\log 2/\log 3$ 為超越數，則

$\alpha ^{\beta }=2$，是代數數。

定理的應用

利用這個定理，立刻就可以推出以下實數的超越性：

• $2^{\sqrt {2}}$（格爾豐德-施奈德常數）和它的平方根 ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$。
• 格爾豐德常數

$e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.1406926328\ldots$

• $i^{i}=\left(e^{\frac {i\pi }{2}}\right)^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0.20787957635\ldots$

參見

• 林德曼-魏爾斯特拉斯定理
• Schanuel猜想，如果證明了這個猜想，就可以同時推出格爾豐德-施奈德定理和林德曼-魏爾斯特拉斯定理。

參考文獻

• Irrational Numbers, by Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956
• 埃里克·韋斯坦因. Gelfond-Schneider Theorem. MathWorld.