格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理

代數幾何中，格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理是關於相干層上同調的意義深遠的結果。它是關於複流形的希策布魯赫-黎曼-羅赫定理的推廣，其又是對緊黎曼曲面上線叢的經典黎曼-羅赫定理的推廣。

格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理

格羅滕迪克對格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理的評價
領域	代數幾何
最初證明者	亞歷山大·格羅滕迪克
最初證明年	1957
推廣	阿蒂亞-辛格指標定理
可得結果	希策布魯赫-黎曼-羅赫定理 曲面的黎曼-羅赫定理 黎曼-羅赫定理

黎曼-羅赫型定理將向量叢上同調的歐拉示性數與其拓撲度，或更一般地與其（上）同調中的示性類或其代數類似物聯繫起來。經典的黎曼-羅赫定理針對的是曲線和線叢，而希策布魯赫-黎曼-羅赫定理將其推廣到流形上的向量叢。格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理將這兩個定理置於兩個流形（或更一般的概形）之間態射的相對情形中，並將該定理叢關於單一叢的陳述變為適用於層的鏈復形的陳述。

格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理對阿蒂亞-辛格指標定理的發展影響深遠，反過來，格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理的複分析類比也可以用族的指標定理來證明。1957年，亞歷山大·格羅滕迪克在一份後來出版的手稿中給出了首個證明。、Armand Borel與讓-皮埃爾·塞爾撰寫並發表了他的證明（1958）。後來，格羅滕迪克與合作者對證明進行了簡化與推廣。

公式

令X為域上的光滑擬射影概形，凝聚層的有界復形的格羅滕迪克群$K_{0}(X)$規範同構（canonically isomorphic）於秩有限向量叢的有界復形的格羅滕迪克群。利用這種同構，將陳示性（陳類的有理組合）視作一種函子式變換：

$\mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),$

其中$A_{d}(X,\mathbb {Q} )$是d維的X上的循環的周群，模去有理等價，以有理數張開。若X定義在複數上，則後一個群映射到拓撲上同調群：

$H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).$

現在考慮光滑擬射影概形與$X$上的層${{\mathcal {F}}^{\bullet }}$的有界復形之間的真射$f\colon X\to Y$。

格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理涉及前推映射

$f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)$

（高階直像的交替和）與前推

$f_{*}\colon A(X)\to A(Y),$

由公式

$\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).$

其中$\mathrm {td} (X)$是X（的切叢）的Todd屬。因此，定理給出了度量上述前推的缺乏交換性的方法，並表明所需的修正函子只取決於X、 Y。事實上，由於Todd屬在正合序列中是函子、乘法的，可以將格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式重寫為

$\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),$

其中$T_{f}$是f的相對切層，定義為元素$TX-f^{*}(TY)\in K_{0}(X)$。例如，當f是光滑態射時，$T_{f}$就只是向量叢，即沿f的纖維的切叢。

Navarro & Navarro (2017)運用A1同倫論，將格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理推廣到f是兩光滑概形間的真映射。

泛化與特化

考慮組合$\mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)$的適當推廣，可將定理推廣到非光滑情況；考慮具有緊支集的上同調，可將定理推廣到非真（non-proper）情況。

算術黎曼-羅赫定理將格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理推廣到算術概形（arithmetic scheme）。

希策布魯赫-黎曼-羅赫定理（本質上）是Y為點、域為複數域的特例。

有向上同調論的黎曼-羅赫定理由Ivan Panin與Alexander Smirnov提出。它涉及代數有向上同調論之間的乘法（如代數配邊）。格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理是這結果的特殊情況，這時自然會出現陳示性。

例子

曲線上的向量叢

域$k$的光滑射影曲線上秩為$n$、度為$d$（定義為其行列式；或等價地，其第一陳類的度）的向量叢$E\to C$有類似於線叢的黎曼-羅赫形式的公式。若取點$X=C$、$Y=\{*\}$，則格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式可理解為

${\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}$

於是

$\chi (C,E)=d+n(1-g).$

此式也適於秩為$n$、度為$d$的相干層。

光滑真射

格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式的優點之一是可解釋為希策布魯赫-黎曼-羅赫公式的相對版本。例如，光滑態射$f\colon X\to Y$的纖維都是等維的（在基變為$\mathbb {C}$時作為拓撲空間是同構的）。在模理論中考慮由模空間${\mathcal {M}}$對光滑真空間進行參數化時，這事實非常好用。例如，戴維·芒福德用它推導了代數曲線模空間上的周環關係。

曲線的模

對$g$屬曲線（且無標記點）的模疊${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$，有通用曲線$\pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$，其中${\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}$是屬$g$曲線和一個標記點的模疊。然後定義重言類

${\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}$

其中$1\leq l\leq g$與$\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$是相關的對偶化層。注意$\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$在點$[C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$上的纖維，這就是對偶化層$\omega _{C}$。可利用格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理找到光滑軌跡的周環$A^{*}({\mathcal {M}}_{g})$上的$\kappa _{i}$之和 (corollary 6.2)，從而找到描述$\lambda _{i}$的$\lambda _{i}$、$\kappa _{i}$間的關係。由於${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$是光滑德利涅-芒福德疊，可考慮由概形${\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$的覆蓋，對某個有限群$G$可給出${\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]$。對$\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}$應用格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理，可得

$\mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))$

因為

$\mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},$

由上式可知

$\mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).$

這樣，$\mathrm {ch} (\mathbb {E} )$的計算可以進一步減少。在偶數維$2k$，

${\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.$

另外在1維，

$\lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),$

其中$\delta$是邊界上的一個類。$g=2$時，在光滑軌跡${\mathcal {M}}_{g}$上有如下關係

${\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}$

可通過分析$\mathbb {E}$的陳示性推得。

閉嵌入

閉嵌入$f\colon Y\to X$也可用格羅滕迪克-黎曼-羅赫公式描述，其顯示了公式成立的另一種非平凡情形。對$n$維光滑簇$X$及余維為$k$的子簇$Y$，有

$c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]$

由短正合序列

$0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0$,

有下式

$c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]$

for the ideal sheaf since $1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})$.

應用

模空間的准射影性

過兩天都是-黎曼-羅赫公式可用於證明粗糙模空間$M$（如有尖代數曲線的模空間$M_{g,n}$）可嵌入到射影空間，因此是准射影簇。這可以通過觀察$M$上的規範相伴層（canonically associated sheaf）、研究相伴線叢的度實現。例如，$M_{g,n}$有曲線族

$\pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}$

有截面

$s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}$

對應標記點。由於每根纖維都有規範叢$\omega _{C}$，有相伴線叢 $$\Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))$$ 及 $$\chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).$$ 於是

$\Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)$

是豐沛線叢，因此粗糙模空間$M_{g,n}$是准射影的。

歷史

亞歷山大·格羅滕迪克的黎曼-羅赫定理最初是在1956–1957年左右寫給讓-皮埃爾·塞爾的一封信中提出的。1957年，在第一屆波恩工作會議（Bonn Arbeitstagung）上公開發表，隨後塞爾和Armand Borel在普林斯頓大學組織了一次研討會來理解它。最後發表的論文實際上就是Borel–塞爾的論述。

格羅滕迪克方法的意義在於以下幾點。首先，格羅滕迪克改變了陳述本身：人們當時認為定理是關於代數簇的，而格羅滕迪克指出其實際上是簇間態射的定理。他找到了正確的推廣，使證明變得簡單，而結論變得更寬泛。簡言之，格羅滕迪克將一種強範疇方法一項艱巨的分析。此外，如上所述，格羅滕迪克引入了K-群，為代數K-理論鋪平了道路。

另見

• 川崎黎曼–羅赫公式

參考文獻

• Berthelot, Pierre. Alexandre Grothendieck; Luc Illusie , 編. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Lecture notes in mathematics 225). Lecture Notes in Mathematics 225. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. xii+700. ISBN 978-3-540-05647-8. doi:10.1007/BFb0066283 （法語）. 
• Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre, Le théorème de Riemann–Roch, Bulletin de la Société Mathématique de France, 1958, 86: 97–136, ISSN 0037-9484, MR 0116022, doi:10.24033/bsmf.1500  （法語） 
• Fulton, William, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 2 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 3-540-62046-X, MR 1644323, Zbl 0885.14002 
• Navarro, Alberto; Navarro, José, On the Riemann-Roch formula without projective hypothesis, 2017, Bibcode:2017arXiv170510769N, arXiv:1705.10769  
• Panin, Ivan; Smirnov, Alexander. Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties. 2000. 
• The Grothendieck Riemann–Roch theorem. 3264 and All That. 2016: 481–510. ISBN 9781107017085. doi:10.1017/CBO9781139062046.016. 

外部連結

• The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• The thread （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow.
• The thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow.
• The thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.