微分同胚

在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。

定義

對給定的兩個微分流形$M,N$，若對光滑映射$f:M\to N$，存在光滑映射$g:N\to M$使得$f\circ g=\mathrm {id} _{N}$、$g\circ f=\mathrm {id} _{M}$，則稱$f$為微分同胚。此時逆映射$g$是唯一的。

若在微分流形$M,N$之間存在微分同胚，則稱$M$與$N$是微分同胚的，通常記為$M\simeq N$。

對於$C^{r}$流形，可採同樣辦法定義$C^{r}$微分同胚之概念。

例子

考慮

$\mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq S^{1}$

此微分同胚可由下述映射給出：

$x\mapsto e^{2\pi ix}.$

與同胚的關係

對維度$\leq 3$的流形，可證明同胚的流形必為微分同胚；換言之，此時流形上的拓撲結構確定了微分結構。在四維以上則存在反例，最早的構造是約翰·米爾諾的七維怪球，米爾諾更證明了七維球上恰有28種微分流形結構，它們都可表成某個在$S^{4}$上的$S^{3}$-叢。在1980年代，西蒙·唐納森與邁克爾·哈特利·弗里德曼的證明在$\mathbb {R} ^{4}$上有不可數個相異的微分結構。

外部連結

• D.V. Anosov, Diffeomorphism, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4