量子場論中,一組創生及湮滅算符的乘積稱為是按正規序排列的,如果所有的創生算符排列在所有的湮滅算符的左側,相應的乘積稱為正規乘積[1]。類似地可以定義反正規序,在反正規序中,所有產生算符排列在湮滅算符的右側。

記號

 為任意創生和湮滅算符之乘積,則我們將 按照正規序重新排列之後得到的算符用  或  表示。注意正規序只對算符乘積有意義,因為正規序不是線性關係,將正規序用在算符和並無太大作用。

玻色子

玻色子符合玻色–愛因斯坦統計

單個玻色子

單個玻色子有一個產生算符和一個湮滅算符:

  •  :玻色子的產生算符
  •  :玻色子的湮滅算符

則有:

 
 
 

其中   表示兩個算符的對易子

例子

1. 最簡單的例子是   的正規序,根據正規序的定義,可見這裡的算符已經按照正規序排列,所以 的正規序就是它自身:

 

2. 第二個例子是   的正規序,

 

這裡,按照正規序的要求,產生算符   放到了湮滅算符  的左邊。由玻色子算符的對易關係有:

 

維克定理中,兩個產生或湮滅算符的乘積與它們的正規序之間的差,稱為這兩個算符的收縮。

3. 一個多算符的例子:

 

多個玻色子

對於   個不同的玻色子來說,有   個算符:

  •  :第   個玻色子的產生算符
  •  :第   個玻色子的湮滅算符

其中  .

它們滿足下列對易關係:

 
 
 

其中   克羅內克函數

例子

1.對於兩個玻色子 ( ) ,有:

 
 

2. 對三個玻色子 ( ) ,有:

 

由於   (參見對易關係),湮滅算符之間的順序並不重要。

費米子

費米子服從費米-狄拉克統計

單個費米子

單個費米子有一個產生算符和一個湮滅算符:

  •  :費米子的產生算符
  •  :費米子的湮滅算符

它們滿足下面的反對易關係:

 
 
 

其中   是反對易子。

與玻色子不同的是,對於費米子的正規序,每當重新排序引起兩個算符的前後順序發生變化時,需要額外引入一個負號。

例子

1. 最簡單的例子是:

 

由於算符已經按正規序排列,所以其正規序就是它本身。反過來,若是產生算符排列在後面,則如前文所說,其正規序需要引入一個負號,即:

 

由費米子算符的反對易關係有:

 

與玻色子的情形一樣,上式用於定義維克定理裡面的收縮。

2. 其它情形下的正規序都是零,因為此時同一個湮滅算符或產生算符至少連續出現了兩次。根據費米子的性質,此時結果為零,例如:

 

多個費米子

  個費米子有   個產生湮滅算符,設:

  •  為第   個費米子的產生算符
  •  為第  個費米子的湮滅算符

其中  .

它們滿足下列反對易關係:

 
 
 

其中   克羅內克函數

例子

1. 對兩個費米子 ( ) ,有:

 

由於算符已經按正規序排列,所以其正規序就是它本身。

 

由於兩個算符的順序發生了交換,所以要引入一個負號。

 

與玻色子的情形不同,此時產生算符之間的順序是有關係的。

2. 對三個費米子 ( ) ,有:

 

類似地有:

 
 

量子場論中的應用

任意算符的正規序的真空期望值為零。這是因為對於真空態來說, 以及 都是0。

這裡    分別是(玻色子或費米子的)產生和湮滅算符。將正規序的這一性質與維克定理結合起來,便能大大簡化場算符的真空期望值的計算。

參考文獻

  1. ^ 尹道樂,尹瀾. 2. 凝聚态量子理论. ISBN 9787301161609.