旋量群

數學中，旋量群 Spin(n) 是特殊正交群 SO(n) 的二重覆疊，使得存在李群的短正合列：

$1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1$ 。

對 n > 2， Spin(n) 單連通，從而是 SO(n) 的萬有覆疊空間。作為李群 Spin(n) 及其李代數和特殊正交群 SO(n) 有相同的維數 n(n − 1)/2。

Spin(n) 可以構造為克利福德代數 Cℓ(n) 可逆元群的一個子群。Spin(n) 由所有寫成個偶數個單位向量的克利福德乘積的元素生成。對應到 SO(n) 中恰是沿着垂直於這偶數個向量的超平面的反射的複合。

巧合同構

當維數比較低時，典型李群之間存在同構，稱為「巧合同構」。例如，低維旋量群和一定的典型李群同構，這是因為不同的低維單李代數的根系之間存在同構。特別的我們有：

Spin(1) = O(1) = Z₂

Spin(2) = U(1) = SO(2) = S¹

Spin(3) = Sp(1) = SU(2) = HU(1) = S³

Spin(4) = Sp(1) × Sp(1)

Spin(5) = Sp(2) = HU(2)

Spin(6) = SU(4)

對 n = 7，8 仍然有退化的同構，細節可參見 Spin(8)；對更高的維數，這樣的同構完全消失。

不定符號差

對於不定符號差，旋量群 Spin(p,q) 通過克利福德代數用類似於標準旋量群的方式構造，由能寫成偶數個模+1和偶數個模-1單位向量的克利福德乘積的元素生成。它是一個 SO₀(p,q)（不定正交群 SO(p,q) 含單位元連通分支）的連通二重覆疊。Spin(p,q) 的連通性不同作者有不同的約定，此文中取 p+q>2 時連通。不定符號低維時，也有一些巧合同構：

Spin(1,1) = GL(1,R)

Spin(2,1) = SL(2,R)

Spin(3,1) = SL(2,C)

Spin(2,2) = SL(2,R) × SL(2,R)

Spin(4,1) = Sp(1,1)

Spin(3,2) = Sp(4,R)

Spin(5,1) = SL(2,H)

Spin(4,2) = SU(2,2)

Spin(3,3) = SL(4,R)

注意有 Spin(p,q) = Spin(q,p)。

拓撲

連通且單連通的李群由它們的李代數決定。所以，如果 G 是具有單李代數的連通李群，G′ 是 G 的萬有覆疊，有包含：

$\pi _{1}(G)\subset Z(G'),$

這裡 Z(G′) 是 G 的中心。這個包含映射和 G 的李代數 ${\mathfrak {g}}$ 完全確定了 G （注意 ${\mathfrak {g}}$ 和 $\pi _{1}(G)$ 不能完全確定 G，例如 SL(2,R) 和 PSL(2,R) 有相同的李代數和基本群 $\mathbb {Z}$，但卻不同構）。

定符號 Spin(n) 對 n > 2 都是單連通的，所以它們是 SO(n) 的萬有覆疊。不定符號時，Spin(p,q) 的極大緊子群是

$({\mbox{Spin}}(p)\times {\mbox{Spin}}(q))/\{(1,1),(-1,-1)\}$。

這樣我們就可計算出 Spin(p,q) 的基本群：

$\pi _{1}({\mbox{Spin}}(p,q))={\begin{cases}\{0\}&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\{0\}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} &p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q>2\\\end{cases}}$

對 $p,q>2$，這意味着映射 $\pi _{1}({\mbox{Spin}}(p,q))\to \pi _{1}(SO(p,q))$ 由 $1\in \mathbb {Z} _{2}$ 映到 $(1,1)\in \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ 給出； 對 p=2，q>2，映射由 $1\in \mathbb {Z} \to (1,1)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{2}$ ；最後，對 p = q = 2， $(1,0)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ 映到 $(1,1)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ 而 $(0,1)$ 映到 $(1,-1)$ 。

相關條目

• 反射
• Pin 群
• 旋量
• 旋量叢
• 任意子
• 自旋結構
• 克利福德代數
• 定向纏結
• 複自旋群

參考文獻

• F.Reece Harvey, Spinors and Calibrations, Academic Press, Inc., 1990.
• Pertti Lounesto, Clifford Algebras and Spinors, LMSLNS 239, Cambridge University Press,1997.
• PlanetMath, Spin Groups （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.