弗洛凱理論

弗洛凱理論（Floquet theory）是常微分方程理論的一種，討論有關下列微分方程類型的解答類別，

${\dot {x}}=A(t)x$,

其中，A(t)是一週期為T的連續週期函數。

弗洛凱理論的主要定理－弗洛凱定理給出了一般線性系統的每個基本解的正規形式。它給定了一座標轉變$y=Q^{-1}(t)x$，其中$Q(t+2T)=Q(t)$，用以來轉變週期系統至有常數及實係數的傳統線性系統。

在固態物理中，其類比的結果(推廣至三維)為布洛赫定理。

弗洛凱定理

X=A（t）x

其中，A(t)是一周期為T的連續周期函數。

弗洛凱理論的主要定理－弗洛凱定理給出了一般線性系統的每個基本解的正規形式。它給定了一座標轉變$y=Q^{-1}(t)x$，其中$Q(t+T)=Q(t)$，用以來轉變周期系統至有常數及實係數的傳統線性系統。

在固態物理中，其類比的結果（推廣至三維）為布洛赫定理。

結論與應用

量子力學中，含時薛定諤方程為$i{\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}(t)|\psi (t)\rangle$。 如果哈密頓量${\hat {H}}(t)$滿足周期性邊界條件${\hat {H}}(t+T)={\hat {H}}(t)$，$T=2\pi /\omega$，可以假定含時薛定諤方程的解為$|\psi (t)\rangle =e^{-i\epsilon t}|\phi (t)\rangle$，其中，$|\phi (t)\rangle$應滿足$|\phi (t+T)\rangle =|\phi (t)\rangle$。 則原含時薛定諤方程變換為一個新的類似定態的薛定諤方程

$\underbrace {\left({{\hat {H}}(t)-i{\frac {\partial }{\partial t}}}\right)} _{\hat {\mathcal {H}}}\left|{\phi (t)}\right\rangle =\varepsilon \left|{\phi (t)}\right\rangle$

其中${\hat {\mathcal {H}}}$為新的Floquet哈密頓量，$\varepsilon$為準能量，$|\phi (t)\rangle$被稱為Floquet態。

參考

• Chicone, Carmen. Ordinary Differential Equations with Applications. Springer-Verlag, New York 1999
• Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," Ann. École Norm. Sup. 12, 47-88 (1883).
• https://qutip.org/docs/4.1/guide/dynamics/dynamics-floquet.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）