代數同態

在A和B兩個K-多元環之間的同態是指一個函數$F:A\rightarrow B$，此函數能使得對所有在K內的k和在A內的x、y來說，

• F(kx) = kF(x)

• F(x + y) = F(x) + F(y)

• F(xy) = F(x)F(y)

若F是雙射的，則F稱為是A和B之間的同構。

例子

令A=K[x]為在一個體K上的所有多項式所組成的集合，且B為一個在K上所有多項式函數所組成的集合，則A跟B兩個都會是在K上分別由標準的多項式和函數的乘法及加法所構成的代數。可以將每個在A內的$f\,$以${\hat {f}}(t)=f(t)\,$的方式映射至於B內的${\hat {f}}\,$。很簡單便可以知道這個映射$f\rightarrow {\hat {f}}\,$會是一個A和B兩個代數之間的同態。若K是一個有限體的話，則可令

$p(x)=\Pi _{t\in K}(x-t).\,$

其中p是一個在K[x]內的非零多項式。但對所有在K內的t，$p(t)=0\,$，所以其映射${\hat {p}}=0\,$都會是一個零值函數，這兩個代數因此不會是同構的。

若K是無限的，則令${\hat {f}}=0\,$。接下來要證明這會使得$f=0\,$。設$deg(f)=n\,$和$t_{0},t_{1},\dots ,t_{n}\,$為K內n+1個不同的元素，則對$0\leq i\leq n$都會有$f(t_{i})=0\,$。再利用拉格朗日插值便能得到$f=0\,$。因此映射$f\rightarrow {\hat {f}}\,$是單射的，故而有一個在A和B之間的同構。