维基百科:台湾教育专案/台大物理系服务学习/112-2/固有长度

关于宇宙学中的固有距离，请见“同移距离”。

固有长度 或 静止长度 是指物体的静止参考系中的物体长度。

在相对论中，测量距离比在经典力学中要复杂。在经典力学中，长度的测量基于假设所有相关点的位置同时被测量。但在相对论中，同时与否是取决于观察者的。

另外一个术语，时空间隔提供了对任意观察者而言皆相同的测量定义。

与固有长度类似的还有固有时间。二者的不同之处在于，固有长度定义在两个类空（Spacelike）间隔事件之间，固有时间定义在两个类时（Timelike）间隔事件之间。

固有长度或静止长度

物体的固有长度或静止长度是与被测量物体相对静止的观察者透过标准量尺所测得的物体长度。在静止参考系中，物体端点不需同时被测量，因为在静止参考系中物体端点始终静止，因此长度测量与 Δt 无关。长度由下式给出：

$L_{0}=\Delta x.$

然而在与物体有相对速度的参考系中，物体的两端点可能会移动，所以若想量得物体的长度，则需同时测量两端点。最终量得的长度会相对物体的静止长度短，其由长度收缩的关系式给出(式中γ为劳仑兹因子)：

$L={\frac {L_{0}}{\gamma }}.$

另外，两个发生于物体两端点的事件的时空间隔由下式给出：

$\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}}.$

可以看到Δσ取决于Δt，但物体的静止长度L₀不取决于Δt，这导致只有在Δt于静止参考系下为0时，也就是在静止参考系下测量事件同时发生，在物体两端点测量Δσ和L₀才会相等。如Fayngold所解释

p. 407: “注意到两个事件之间的时空间隔通常不同于恰好与这两事件重合的物体的固有长度。考虑一根有恒定固有长度l₀的实心棒。如果你在相对棒的静止参考系K₀中，并且你想测量其长度，你可以先标记其两端点。而且在 K0 中，并不需要同时标记这些端点。你可以现在标记一端（在时刻t₁），然后在K₀中稍后标记另一端（在时刻t₂），然后再测量标记之间的距离。我们甚至可以将这种测量方式视为固有长度的一种操作性定义。从实验物理学的角度来看，对于形状和大小恒定的静止物体，同时标记端点的要求是多馀的，在这种情况下可以将此要求从这种定义中去除。由于棒在K₀中是静止的，标记之间的距离是棒的固有长度，无论两次标记之间的时间间隔如何。另一方面，如果标记不是在K₀中同时进行的，这些标记事件之间的距离就不是固有距离。”

平直空间中两事件间的时空间隔

在狭义相对论中，当测量事件在惯性参考系中同时发生，两个类空间隔的事件的时空间隔即是两事件间的距离。在此情形下，距离由下式给出：

$$\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}},$$

此处

• Δx、Δy和Δz是两事件在线性正交的三维空间中的空间座标差。

这个定义可以透过下式等效的被推广到所有惯性参考系(不要求两事件同时发生)：

$$\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}},$$

此处

• Δt是两事件的时间座标差
• c是光速

由于时空间隔的不变性，并且当两事件同时发生，Δt = 0，上两式是等价的。

两个事件是类空间隔的，若且唯若上式的Δσ是正实数。

路径的时空间隔

上述计算两个事件之间时空间隔的公式假设两事件发生的时空是平坦的。因此，上述公式一般不能用于考虑弯曲时空的广义相对论。然而，可以在任何时空中定义沿著路径的固有距离，无论是平坦的还是弯曲的。在平坦时空中，两个事件之间的时空间隔是沿著两个事件之间的直线路径的时空间隔。但在弯曲时空中，两个事件之间可能存在多条直线路径（测地线），因此，沿著直线路径的时空间隔并不能唯一地定义两个事件之间的时空间隔。

任意类空路径P的时空间隔透过曲线积分写成以下张量形式

$$L=c\int _{P}{\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}},$$

此处

• g_μν 是该处时空座标的度规张量
• dx^μ 是路径P上相邻事件的 座标间隔

在上述方程中，度量张量采用+---度规记号，并假设其积分后的因次是时间而不是距离。若度量张量使用-+++度规记号，则应去掉式中的负号。此外，如果积分后的因次是距离，或使用几何化单位，则应去掉方程中的$c$。

相关条目

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